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发表于 2023-10-24 09:31
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第一章 无穷集合的唯物辩证法概念
§ 1.1 现行自然数基数理论中的问题
对自然数余元希、田万海、毛宏德编写的《初等代数研究》上册 的第一章 “自然数的基数理论 [3]”是使用ZFC形式语言公理体系中空集存在与并集合公理定义自然数的。笔者认为：他使用一系列等式 =3，……一给出的自然数定义，不仅不存在无穷多空集供他使用，而且无穷次使用并集的操作无法完成。这样做成的自然数概念与自然数的实际应用意义不同。这样的自然数概念是有问题的，第一个问题是：“他这样的自然数基数的定义是与自然数实际应用意义不同的形式主义做法”，事实上，自然数可以表示一堆梨子的个数时，必须忽略各个梨子大小的差别，而无法将梨子个数与空集的的个数对应起来。为此笔者提出如下的定义1.及其应用的说明，。
定义1，空集这个术语，表示没有元素（或元素个数为0）的想象性集合；由确定个数的确定事物为元素组成的整体，而且整体不能作为集合元素的集合，叫做现实的正常集合。数学术语“元素个数”具有忽略现实集合中各个元素性质与大小差别的意义，元素个数多少的表达符号叫做理想自然数；在暂时不联系现实数量的纯粹数学研究中可以简称为自然数。
这个定义下的现实正常集合需要用一篮子苹果、一家人、一班学生等实例进行说明：其中自然数（即元素个数的表达符号）是古代人创造的由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个符号与十进记数法表示的数。由此出发，就有了形式逻辑下，需要的背熟自然数的加法、乘法的运算法则。自然数的表达符号及其运算法则构成的现行的自然数的初步理论。但在自然数应用时，不能忘掉它们与现实数量的关系，例如; 虽然从纯理论上可以讲：理想自然数10比9大，但还需要知道“9个大苹果比十个小苹果分量大、养分多”。使用自然数表达线段长度时，需要知道：“线段长度具有测不准性，使用自然数表示两个线段毫米数的和时，需要进行误差分析”；使用四舍五入法则时，会出现1加1近似等于1或3的现象。
这个自然数概念的修改说明：自然数理论阐述时，需要使用毛泽东著《矛盾论》中说的“对立统一的法则是唯物辩证法的最根本的法则”、“一切事物中包含的矛盾方面的相互依赖和相互斗争，决定一切事物的生命，推动一切事物的发展。没有什么事物是不包含矛盾的，没有矛盾就没有世界”的论述。对自然数“既要说明它的理想性的纯数学理论的一面，又需要说明：它的实践应用的现实性一面，只有这样才能使它成为解决生产实际问题的的有用的自然数”。上述讨论也证实了毛泽东在《实践论》中说的“实践、认识，再实践、再认识，这种形式，循环往复以至无穷，而实践和认识之每一循环都比较地进到了高一级的程度”的论述是正确的。
这个自然数基数理论的第二个问题是：它把这个理论推广到无穷后说到“自然数集合与真子集的奇数集合、偶数集合具有同一无穷基数 ” 的概念是违背了“全体大于部分”的欧几里德的公理8的谬妄，需要使用联系现实的唯物辩证法消除这个谬妄。他的这个谬妄是使用了“无限次使用并集合操作”得到的，根据引言中“无限次操作做不到底”的事实，他这个谬妄就被消除了。事实上，偶数集合2，4，6，……是自然数集合1，2，3，4，……真子集。这个真子集的元素个数是依据对任意自然数n，使用“对 取整数 的法则”得到无穷数列；0，1，1，2，2，3，3，……，这个数列与自然数数列 的极限都是+∞，根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 的定值法则，得到偶数集合与自然数集合元素个数的比接近于 。同理，作为自然数的真子集的奇数集合1，3，5，……的元素个数，是依据“对 取整数 的法则”从自然数集合1，2，3，4，……依次得到的无穷数列1，1，2，2，3，3，……，这个数列与自然数无穷列 的趋向性极限也都是+∞，再根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式 ,的定值法则据，得到奇数集合与自然数集合元素个数的比也是接近于 的。即偶数集合与奇数集合的元素个数都比自然数集合的元素个数少了几乎一半，而不是相等。《初等代数研究》中的这个自然数基数理论的提出，可以说是：为了与康托尔无穷基数协调而写出的理论，对于康托尔无穷基数将在下一小节进行批判。
§ 1.2 康托尔无穷基数理论与自然数的序数理论中的问题
对于文献【1】31-40页中叙述的“把自然数集合N记作ω”，“ω是一个序数，而且是一个最小序数”，“把ω记作ω0”，然后把ω0 记作 ，并称它为第一个无穷基数的做法需要研究“自然数集合的序数概念。对《初等代数研究》的“§ 1.2 自然数的序数理论”节，使用皮亚诺（G..Peano）“任何自然数n都有继数n+1的公理”提出的自然数集合的定义1，需要指出：这个继数公理的无穷次使用需要无穷长的时间，因此在任何有限时间内，这个无穷集合无法构成，这个无穷集合是无法构造完毕的想象性理想性质的集合。为此需要提出如下的定义2.与说明。
定义2：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；以元素个数无限增多的有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向于+∞，但始终达不到+∞的，包含所有有限自然数的元素个数趋向于非正常实数+∞的自然数集合叫做：元素个数趋向于非正常实数+∞的含有所有有限自然数的，不可构造完毕的想象性质的、无穷性质的、非正常自然数集合；依照惯例，可以记作：N=｛0，1，2，3，……｝。与《非标准分析》不同，自然数集合中没有《非标准分析》的无限大自然数，但不缺少任何有限自然数。
说明1：笔者提出的 这个定义之前，使用恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的，48页讲到：“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样”的说法，提出了自然数无限集合来源于有穷集合的如下的三个无穷序列：
{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
或{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
或{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
其中序列（1）中各个集合的元素个数为无穷数列{n+1}的变数，序列（2）中各个集合的元素个数为无穷数列{10n}的变数，序列（3）中各个集合的元素个数为无穷数列 的变数，根据广义极限的概念，得到这三个无穷序列的趋向性极限都是想象性的元素个数趋向于+∞的无穷集合。式中符号+∞是华东师大《数学分析》上册1980年版80 页无穷大量研究中讲的非正常（或称广义）极限 性质的“非正常实数 [4]”。虽然这三元素个数序列的广义极限都是+∞ 但根据菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第一卷一分册整序变量的计算不定式, 的定值法则，这几个不同序列的趋向可以是元素个数不同的无穷集合。因此，康托尔不能提出自然数集合N的无穷集合元素个数是定数的“无穷序数与无穷基数理论”。他这个理论是使用了“数学必须肯定实无限，无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”的违背“无穷次使用继数法则做不到的事实”的错误；也是违背了两千多年前亚里士多德潜无穷的观点的错误；对待自然数无穷集合，必须使用无穷集合与有穷集合对立统一的唯物辩证法进行阐述。
说明2：根据数学理论需要在继续实践中不断改善的唯物辩证法，对于皮亚诺（G..Peano）“任何自然数n都有继数n+1的公理”需要改写为：0是第一个有限自然数，0的继数1是第二个有限自然数，任何有限自然数n都有有限大的继数n+1存在的公理，无穷次使用继数公理做不到。此外应当指出：对使用ZFC形式语言公理系统下无穷集合存在公理下的选择公理得出的《非标准分析》的无限大自然数的做法，需要根据上述定义2中的“自然数集合是无法构造完毕的非正常集合”的事实，它的“大于所有有限自然数的无限大自然数不存在”。
§ 1.3 无穷集合理论中各种悖论的消除
悖论1：文献[1] 42页“定理1 自然数集合的任一无穷子集合都是可数的，也就是说，它们的基数都是 。”的叙述是错误的，实际上。应当知道：只有有穷集合才可以说，它们是能数到底的元素个数为有限自然数的真正可数集合；所有无穷集合都是可数而又永远数不到底的非正常集合，
悖论2文献[1] 43页“定理3 也就是说：有理数集合Q能够和自然数集合建立一一对应。”是错误的，事实上，文献[1] 43页的这个论述，违背了“全体大于部分”的欧几里德的公理8。具体的讲，首先需要提出如下的有理数集合的构造过程表。
表1 有理数集合构造表 Tab.1 Structure sequence on set of rational numbers
顺序数n 对应的有理数集合
对应有理数集合中的元素个数
1 {- 1,0,1}
2 { -2 , -1 ,- ,0. ,1，2}
3 {-3，-2，- ，-1， ， ， ，0, }
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从此表可以看出：使用从自然数0到1得到三个有理数-1，0，+1；从0到2得到-2、-1，-1/2，0，1/2，1，2 七个有理数，……的“从少到多对应法则”，然后取广义极限得到包含所有有理数的元素个数趋向于+∞的广义极限性非正常实数，这个无穷集合也是无法构造完毕的非正常集合。根据这个构造过程，与 不定式的比值计算时，需要使用∞来源的数列的有限数比值的数列极限方法计算（参看菲赫金哥尔茨《微积分教程》一卷一分册52-54页的不定式定值法），可知有理数集合比其真子集的自然数集合的元素多得多（至少大二倍）。
还需指出：夏道行的《实变函数与泛函分析》（北京 高等教育出版社 2016年出版）中19页提出了两个集合之间一一对应（或双射）的定义；20页提出了两个集合之间对等的定义；23页提出了两个集合有相同势（或基数）的定义；指出了对等集合就是等势集合的概念。24页使用策墨罗（Zermelo 1908）提出的选取公理，得到“A 永远不对等于B 的某个子集，B也永远不对等于A的子集”不会出现的结论，于是该书提出“任何两个集的势都是可以比较大小”的概念，26页提出“定理2 无限集合与它的一个真子集对等”的概念， 35页提出了“势的运算：势是元素个数的抽象，势的大小是元素个数多少的抽象，势不仅有大小，而且能和数一样有运算”的概念。按照这个势（基数）理论，可以得到有理数集合与其真自子集的自然数集合之间具有“一一对应关系”，且有共同基数 ，得到这两个集合的元素个数相等的结论。他的这个结论违背了欧几里德《几何原本》公理“8全体大于部分”的事实。由于“完成了的整体的实无限”观点，违背事实，所以夏道行依赖于ZFC形式语言中的选择公理与康托尔的无穷序数、无穷基数理论都不能成立。
悖论3 对于文献[1]中叙述的罗素悖伦，由于罗素没有提出无穷集合是无法构成的非正常集合的概念，所以，文献[1]中使用概括性表达式 得出了“所有正常集合组成的集合是不是正常集合”是无法判断的罗素悖伦。现在，根据上述定义2与自然数集合的构造过程就说明：“正常集合有无穷多；以所有正常集合为元素组成的集合是元素个数趋向于+∞的不能构造完毕的非正常集合”的概念，第三次数学危机的罗素悖论就不存在了。此外，根据自然数无穷集合不能构造完毕的事实，康托尔无穷基数的术语不能提出，由于文献[1]48页中的康托尔定理是使用“自然数集合是完成了的实无限集合的违背事实的观点”，所以他的这个定理不成立，因此文献[1]59页说的“康托尔悖论”也是不存在的。我们不需要为消除这两个悖论去建立ZFC形式语言集合论。
悖论4 对理想实数集合需要提出它的理想依赖于近似的构造过程表如下：
Tab2.表2 理想实数的集合构造表( Structure sequence on set of ideal real numbers)
顺序数n 对应的实数集合
对应实数集合中的元素个数
1 {- 9.9,-9.8,……，0.0,0.1，……,+9. 9}
2 { -99.99, -99.98,……,0. 00,……+99.99}
3 {-999.999，…，0.000,……,+999.999}
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显然，当 时， 中左、右两边的元素，其极限分别为 、 。又根据下述第三章叙述的无尽小数与实数的关系，可知表中有整数部分为0的、小数点后有 个3的十进小数为项的无穷数列，其极限是理想有理数 ；同理， 序列中也有极限是无理数的以十进小数为项的无穷数列。从表2可以看出， 的极限为理想无穷大 。所以，类似于自然数、有理数集合的广义极限性构造法则，表2中的Sn被叫做n位十进小数表示的实数集合；序列 的广义极限是包含所有（理想）实数的，元素个数为 的理想性质的非正常集合，简称为理想实数集合。这个集合也具有不能构造完毕的理想性质，因此，实数集合的元素个数不是定数，文献[1]54页提出的连续统假设 不成立；这就消除了文献[1]87页叙述的“到目前为止，人们还没有解决连续统假设，……它仍是数学中一大难题”。
在理想实数集合不能构造完毕的事实下，笔者还称与理想实数 之差小于足够小误差界之下理想实数集合为这个理想实数的一个单包，单包之内的不同理想实数之间具有足够准近似相等的关系。关于有理数集合与实数集合，还需要知道：根据“无穷无有穷尽的事实”，正实数集合与正有理数集合都没有最小元素，因此，ZFC形式语言公理体系中的正则公理（即非空有序集合恒有最小元素）对正实数集合与正有理数集合都不成立；人们无法写出挨着0的正有理数与能证实数。
悖论5 实数集合上的函数概念问题：根据实数集合不能构造完毕的事实，现有三角函数、对数函数的连续函数都具有无法将定义域上所有函数值一一绝对准算出的性质，只能将定义域分成有限多个单包，然后根据函数的连续性，算出单包中心 处的函数值近似代表单包各处的函数值；虽然单包中心的函数值可以使用无穷级数表达式进行计算，但根据无穷级数的无穷项加法无法进行到底的性质，只能近似计算出这个函数值。这个事实也可以说是现行无穷集合理论中的一个悖论。
悖论6 对哥德巴赫猜想问题，Α.K.苏什凯维奇著《数论初等教程》19页讲到： 使用爱拉托士散纳筛子得到：小于100的素食有：25个素数，它们是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.。这一页还讲到：“从2开始，到某一素数p为止的所有素数的乘积加1的 ”为素数，的“素数的集合为无限的”的定理23。这个文献的第25页讲了与欧拉有关的哥德巴赫猜想问题，在百度网站的 “哥德巴赫猜想（世界近代三大数学难题之一）。现在，根据笔者前述的几个无穷集合都是“其元素个数趋向于 的，但不到 ， 是非正常实数，理想性质的非正常集合”的论述，素数集合也是这种非正常性质的无穷集合。所以，笔者认为：哥德巴赫猜想是违背事实的悖论。
对这个悖论，应当根据自然数集合是有穷自然集合序列趋向性非正常集合与判定素数的爱拉托士散纳筛子方法的性质，采用爱拉托士散纳筛子的方法的“计算小于某个自然数数A 的一切偶数、的素数和的问题” 替换哥德巴赫猜想。这时，在使用1替换2作为第一个素数后的100以下的素数依次是：1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97的结果，可以依次得到2是1的继数，2等于两个素数1的和，4是3的继数，4等于1与3 两个素数的和，6是5的继数，6等于1与5 两个素数的和，也等于两个素数3的和，8是7的继数，8等于1与7 两个素数的和，也等于两个素数3与5的和，10是9的继数，10等于3与7 两个素数的和，也等于两个素数5的和，12是11的继数，12等于1与11 两个素数的和，也等于两个素数5与7的和，14是13的继数，14等于1与13 两个素数的和，也等于两个素数3与11的和，16是15的继数，16等于3与13 两个素数的和，也等于两个素数5与11的和，18是17的继数，18等于1与17 两个素数的和，也等于两个素数7与11的和，20是19的继数，20等于1与19 两个素数的和，也等于两个素数3与17、7与13的和、，……，依次下去，可以得到小于A=30，100的许多偶数的素数和表达式。对于100以下的奇数的三个素数和问题，也都可以得到验证。对于100以后奇数与偶数可以继续这样的工作，但永远进行不到所有自然数。
§ 1.4 本章研究小结及其与当代数学家的争论
4.1 本文研究的小结： 前述定义1说明了自然数与现实集合元素个数的关系，定义2说明了自然数无穷集合元素个数具有①可以趋向于 ，②但又不到 ， 是非正常实数的对立统一的两个方面。指出了“无穷集合与有穷集合之间的对立统一关系”“自然数集合是具有理想性质的非正常集合”；《非标准分析》的无限大自然数不存在的事实。前述第二节，消除了现行无穷集合理论的六个涉及无穷集合的六个悖论。虽然“几何基础、实数理论与微积分学”还需要进一步讨论，但本章的这些讨论已经说明：数学是研究现实数量大小、多少的自然科学，这门科学的研究需要有“实事求是”的精神，需要以“实践是数学理论的基础”，需要以对立统一的唯物辩证法为数学理论的根本阐述方法。
4.2 笔者与当代数学家的争论：笔者的上述无穷集合概念与当代数学家不同的基本问题是：笔者否定了“无穷集合是完成了的整体的实无穷观点”，但现代的数学界使用这个观点，例一，在2018年大连理工大学出版了徐利治的《论无限》，其中第7页说到“人脑概念理性思维具有反映“飞跃”的能力，则实无限概念的客观性也就不难阐明了”。但事实上，有限不能通过“飞跃”达到“完成了的整体的”实无限；康托尔无穷基数不成立，“称无尽小数为实数”的实数理论存在着布劳威尔提出的三分律反例。徐利治在17页 说的“实无限观和潜无限观都是合理的的概念”不成立。例二，在数学中国网站上，用名“春风晚霞”的理科正教授说：“无穷集合与其真子集元素个数相等的概念是无穷集合的本性”。他举出伽利略猜想的“正整数集合1，2，3，……与其平方得到的它的无穷真子集1,4,9,……有共同基数 ，元素个数相等的实例”作为依据。但事实上，正整数集合1，2，3，……比其真子集1,4,9,……的元素个数多了2，3，5，6，7，8，……许多元素，这两个集合的后一个集合是前者真子集；前者的元素个数为： 。后者的元素个数为 ，使用菲赫金哥尔茨《微积分学教程》中整序变量中的不定式定值法，可以得到两者的比为： 这说明：春风晚霞坚持的无穷基数理论与他的实例具有违背事实的错误。
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发表于 2023-10-12 17:16
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