从一道黄金分割方程溯源的数学文化之旅

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从一道黄金分割方程溯源的数学文化之旅

作者 : 林运蓉

摘要：数学中蕴涵的数学文化不仅闪耀着理性智慧的光芒，而且更是为我们带来艺术审美的享受，是现代文明的重要组成部分。“黄金分割”是数学的一大宝藏，她在诸多人文与艺术领域都有着非常独特的魅力。本文从人教版九年级上册第 21 章中的“阅读与思考——黄金分割数”，借助比例线段知识，得到黄金分割方程，求解黄金分割数谈起，师生共同探寻，来一场感悟数学美的智趣的数学文化之旅。

关键词：黄金分割数；黄金分割方程；比例线段；探究

2022 年颁布的新课标指出：从“双基”——基础知识和基本技能扩充到“四基”——基础知识、 基本技能、 基本思想、 基本活动经验, 并且提出了“四能”——从数学角度发现问题、 提出问题、 分析问题和解决问题的能力, 同时特别强调数学史和数学文化的育人价值。

黄金分割是初中数学知识中属于重要的教学内容，具有丰富的文化背景。本文通过人教版初中数学教材九年级中的“一元二次方程”章节中的“阅读与思考”——“黄金分割数”的教学，从经典的黄金分割图形中高效进行数学阅读，整合课本素材，以黄金分割方程为载体，以数学眼光挖掘蕴藏的数学文化资源，对黄金分割数的探寻中溯源数学价值的智慧与理性之魅力。

1. 阅读教材内容，以趣激疑

【问题背景】古希腊数学家欧多克索斯在两千多年发现“黄金分割数”：如果把一条线段分为两部分，较长部分线段与这条线段的比是黄金分割数，那么较短部分线段与较长部分线段的比也是黄金分割数。即 短:长=长:全 ，如何得出黄金分割数？





【作图】已知线段 AB ，如何作出线段 AB 的黄金分割点？





2. 图形探寻数学文化，拓展视野

黄金分割是数学知识中一颗瑰丽的明珠，教材作为阅读材料来处理，黄金分割的应用多为美术作品里的黄金分割，生物和人体中的黄金分割等等，黄金分割在自然界、建筑、股市、战争、美学等很多方面都有广泛应用，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取 0.618 ，就像圆周率在应用时取 3.14 一样。人体结构中有 14 个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12 个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618 的长方形）和 2 个“黄金指数”。例如，肚脐到脚底的高度与身高之比为 0.618 ，鼻翼间宽与口角间距之比近似为 0.618 ……

波利亚说过：“如果你想学会游泳，你必须下水；如果你想成为解题能手，你必须解题”。以平面几何基本图形为例，对黄金分割数，黄金分割点的探寻，增强黄金分割的应用意识，让学生知其然，知其所以然，知何由以知其所以然，启发学生，示以思维之道耳！

2.1 等腰三角形中的黄金分割

【问题 2】如图 2 ，已知 ΔABC 是顶角为 36° 的等腰三角形，底角的平分线与腰的交点是腰的黄金分割点，底边与腰之比为黄金分割数。请你说明理由。







【问题 3】如图 3，已知 ΔABC 是顶角为 108° 的等腰三角形，以一个底角的顶点为圆心，以腰的长为半径所作的弧与底边的交点是底边的黄金分割点，腰与底边之比为黄金分割数。请你说明理由。





【评析】黄金三角形有两类，分别是顶角为 36° 或 108° 的等腰三角形；黄金三角形的底边与腰长之比，或者腰长与底边之比为黄金数；黄金三角形的每一次分割都会得到与原来三角形相似的黄金三角形。



2.2 直角三角形中的黄金分割



【问题 4】如图 4，已知  ΔABC 是直角三角形，其中一条直角边是另一条直角边与斜边的比例中项，则斜边上的高与斜边的交点是斜边的黄金分割点，另一条直角边与斜边之比为黄金分割数。请你说明理由。



2.3 矩形中的黄金分割

【问题 5】如图 5-1 ，已知四边形 ABCF 是矩形，四边形 ADEF 是正方形，矩形 ABCF 与矩形 BDCE 相似，则点 D 是线段 AB 的黄金分割点。矩形 ABCF 的宽与长的比是黄金分割数。请你说明理由。



【思维导向】





【作图】如何作出黄金矩形 ABCF ？



2.4 反比例函数的黄金分割









2.5 折叠找黄金分割点

货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。—— 罗增儒。欲知模型妙，功在应用之。





【问题 8】如何折出正方形边上的黄金分割点？将正方形 ABCD 纸片对折，折痕为 EF ，再折出折痕为 AF ，把边 AD翻折到折痕 AF 上，新折痕为 AG ，那么点 G 是线段 CD 的黄金分割点。





3. 黄金分割作图赏析，揭示本质。



在艺术上，无论是古希腊帕特农神庙，还是中国古代的兵马俑，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这个最能引起美感的比例——黄金比例。同学们查阅资料，学习数学史料展现数学文化，欣赏精彩的画法，感受数学之美渗透数学文化，并进行验证，参与探究活动，应用数学文化。





【作图 2】如图，作等边三角形 ABC 中，以边 AC 作出正方形 ACDE ，AD=AF ，则点 C 是线段 BF 的黄金分割点。





【作图 3】如图，作菱形 ABCD ，过点 D 作 DE⊥AD ，DE 与 AB 的延长线交于点 E ，过点 E 作 EF⊥AE ，EF 与 AD 的延长线交于点 F ，则点 B 是线段 AE 的黄金分割点。





4. 教学心语

数学教育中数学史与数学文化有着重要特殊地位，“数学史研究在学术上不断取得进展，更在为社会服务，在承担社会责任方面迈出了重要的步伐。”张奠宙教授如是说。许多数学史与数学文化有着典型教育意义，能够激发学生的认知冲突用数学眼光进行数学思考。

领略数学家们创新思维，感悟数学的基本思想、发展规律，体验人类漫长的数学发展历史蕴涵的数学思想方法，理解数学宏观历史，学生经历数学家思考探究的数学思维，理解数学知识的核心与本质，源于学生的思考和质疑，培养数学核心素养。数学是理论--实践--理论的学科，并不是独立的解决数学问题，而是思维和意识的延伸，能够将数学知识连接生活，有效解决实际问题。

4.1 数学美陶冶学生情操

美丽的黄金螺线，奇妙的斐波那契数列，巴黎的圣母院，埃菲尔铁塔、古埃及金字塔，希腊雅典的巴特农神庙，东方明珠，达·芬奇的《维特鲁威人》、《蒙娜丽莎》、《最后的晚餐》，从自然界的生命规律、艺术领域、建筑设计到宇宙晶体都有黄金分割的足迹。

基于数学文化视角审视数学美，数学家的名人轶事，妙趣横生的数学知识沧桑演变，数学公式定理的产生过程等等都给德育创新的数学课堂增光异彩。我们加强数学阅读，举办数学专题演讲，运用现代教育技术展现几何图形美，弘扬传统文化，取精除粕，继承发展中国传统文化，树立学生正确的数学观，快乐学习责任担当。

4.2 立德树人感染学生

知识即是美德，数学文化是实现数学教育功能的捷径之一。数学家的信念品质、审美追求、思维过程等深层次的创新意识都为提升学生的数学素养提供丰富的道德因素。数学概念、公式、定理是数学学习核心内容，自身存在真、善、美，培养学生优良品质，崇尚真理、勤于思考、勇于创新，培养学生的优良品质，提升审美能力，为终身发展奠定基础。从“冰冷”的数学概念开始“火热”的丰富数学思考，数学概念的历史溯源，数学公式的牵引关联，数学定理的操作验证，数学事实的探寻，认识数学、体验数学、发现数学和“再创造”’数学，学生从中受益获得意外和乐趣。立德树人还应该体现数学的必备品格，培养学生追根溯源，追求知识的本质，勇于直面自己的困惑并大胆地去寻求答案。

4.3 正确数学观引导学生

数学文化是人类文化的核心部分，理解数学文化的内在力量，培养学生学习自我意识与创新精神，数学知识会遗忘，数学精神思想方法会让学生受益终身。数学文化博大精深，它的导入与知识渗透，学生喜欢上数学，为立德树人提供有效途径。深入教材遵循教学原则开展数学能力训练，逻辑推理素养与数学建模素养的建构中，培养学生坚毅求真、尊重科学、实事求是、灵活变通的应用意识与数学精神。

4.4 参与深度学习牵引新知

深度学习理念倡导关注外显知识的同时兼顾内隐思想文化，深度学习是数学文化课堂教学新的融合点和增长点。教师根据学生认知设计有效教学活动，引导学生学生静心阅读、获取信息、独立思考问题，数学交流探讨学习成果提出自己的疑问、思路、想法，引导学生相互质疑答疑，阐述各自观点看法。深度学习促进高阶思维的参与，教师设置与教学目标相应的问题情境，以问题链的方式提出。学生亲身经历，不断去伪存真，从问题情境中抽象出数学模型，经过反复数学交流与数学表达，培养了学生学会用数学的眼光来观察世界的数学素养。

4.5 解题体验获得思考价值

乔治·波利亚在《数学的发现》序言中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练。”数学解题活动以传授知识为起点，猜想验证、错误溯源、变式教学、题组教学、一题一课、顿悟产生思考灵感的再发现与再创造才是终点。解题意义在于思考，解题不是解决一个具体的题目，而是提出和发现问题，分析验证解决问题的有意义的过程。

数学学习体验是一个动态的、个性化的思考过程，对每位同学来说不尽相同。对数学内容产生情感，数学知识的积累、认知冲突的转变、数学学习需要的变化都与数学体验的变化息息相关。“提升学生的数学素养，引导学生学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。”其实质就是让学生思考数学、感悟数学、运用数学，而不是为了“会刷题，会考试”，最重要的是培养学生的数学思维能力，以适应终身发展和社会发展的需要。

4.6 项目式学习影响学生

经历数学文化主题的项目式学习活动，可以有效拓宽育人渠道，数学与其他学科之间的文化交叉如：数学与经济、政治、物理、化学、文学、艺术的交叉，课堂教学中渗透文化，数学文化贯通古今,兼容并蓄.文化浸润下的素材中的以文载道呈现出来。优化教学内容华人学习过程，发挥发挥各学科特点和优势，用数学的眼光观察世界，关注身边事、身边人，用数学的方法去思考解决问题，用数学的语言去有根有据地分析表达，去创作数学作品，成为一个善于思考、理性而有勇气的人，一个动手实践能力强且有责任、敢担当的人，寻求最大化学习效果。

数学文化融合教育落实到每一个环节，文化渗透下的数学课堂,应做到文化部分为辅,不要喧宾夺主,越俎代庖，教学中必须把握好文化渗透的适度性,知识为主.教学中所呈现的数学文化要符合学生的认知心理特征,不宜盲目追崇数学文化，应充分尊重学生的认知发展规律、认知逻辑顺序展开教学.在进行相关数学历史的讲述时也可以引入部分爱国主义教育，增加学生的民族自豪感。学生对中华民族的伟大复兴产生一个更加直观深刻的感受，初中生是未来复兴任务的承担者，未来的发展需要他们的力量，在进行数学教学的过程中渗透进数学文化意义非凡，初中数学文化的融合教育对初中生起到了很大的启迪作用。

参考文献

【1】施献．对一道“黄金分割点”与相似问题的探究与思考[J]．数学教学通讯. 2021, (11)：80-82
【2】叶海英．例谈数学教学中的数学文化渗透———关于黄金分割的教学设计[J]．希望月报（上半月），2008（03）：36-37
【3】惠宇.重视渗透数学文化  培养学生数学素养——以知识点“黄金分割”为例[J].中学教研（数学）,2019(10):30-33.

原创 林运蓉 好玩的数学 2023-08-26 08:54 发表于江西