传承文化，提升素养—— 2023 年中考数学文化试题赏析

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传承文化，提升素养—— 2023 年中考数学文化试题赏析

作者 : 罗伟

摘要：基于 2022 年义务教育数学课程标的要求，对 2023 年各地中考中的数学文化试题，从经典文化、数学名著、数学思想、数学融合、数学科技、数学交流等六个方面进行赏析，能提高同学们的思维能力，增强文化底蕴，提升文化素养.

关键词：2023 年  中考数学  文化试题  文化素养

2022 年义务教育数学课程标准指出，要关注数学学科发展前沿，继承和弘扬中华传统文化[1]. 2023 年习近平总书记强调，中华优秀传统代代相传，表现出的韧性、耐力、定力是中华民族精神的一部分.中考试题，可以设计合理的生活情境、数学情境和科学情境，适当引入数学文化[1].在《中学数学月刊》2022 年第 11 期，对 2022 年各地中考中的数学文化试题，从数学史书、数学名人、数学游戏、数学应用、数学探索、数学交流等方面进行研究[2]，对于 2023 年中考数学试题，也出现了传统文化试题，现从经典文化、数学名著、数学思想、数学融合、数学科技、数学交流等方面继续研究，能提升同学们的数学文化素养.

一、经典文化

例 1 ．（北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图 1 所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是 6:4 ，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和．某人要装裱一副对联，对联的长为 100 cm，宽为 27 cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的 4 倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）


图 1



注：本题运用方程知识求解，关键是理清几个数量关系，体现了模型观念与应用意识.对联最早出现在五代时期，在明清时期发展到顶峰，距今已有一千多年的历史.启功等书法名家的对联，启迪人的心灵，给人美的享受，对联写好后的装裱及布局也看到不同尺寸的几何图形，呈现出数学的和谐美.

例 2 ．（河南）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图 2 所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）


图 2

A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都相同

解：本题考查物体的三视图，选 A ．

注：判断物体的三视图，难度不大，体现了空间观念与几何直观.答案的背后，汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶就是一个美丽的几何物体，整体造型优美，雕刻着的图案精美，具有很高的观赏价值，展示了数学美．

经典文化，指在漫长的历史进程中，被流传下来代表某一时期的的精髓的思想、理念以及相关的作品.此外，衡阳卷考查紫砂壶与左视图，苏州卷考查古典园林与对称性，徐州卷考查传统玉器与作图，深圳、东营、菏泽、日照、怀化、赤峰卷考查了剪纸与对称性，河北卷考查革命圣地西柏坡与方向角，鄂州卷考查象棋与一次函数，恩施州卷考查四大传统节日与统计，长沙卷考查毛主席《七律二首·送瘟神》与火星周长，长春卷考查“水门礼”与高度，陕西卷考查“老碗面”与圆的半径，内江卷考查世界文化遗产与科学计数法，通辽卷考查四大名著与概率，宁夏卷考查七巧板拼图与轴对称图形，随州考查卷费马点等，这些中考试题，大都是当地经典文化的呈现，能增强同学们的自豪感，倍感亲切.

二、数学名著




图 3



赏析：本题直接代入即可求出结果,训练了运算能力.《平三角举要》是中国第一部平面三角学教科书，梅文鼎对涉及三角形的几何性质及有关三角术的算法借助中国勾股理论作系统整理撰成.再深挖一下题目，可以用余弦定理、三角函数的知识证明题目中的公式，过程如下：



例 4 ．（恩施）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出 4 尺；竖放，竿比门高长出 2 尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图 4）？答：门高、宽和对角线的长分别是 _____________ 尺．


图 4



赏析：本题通过设未知数，根据勾股定理列出一元二次方程求解，体现了模型思想与数形结合思想.《九章算术》是我国汉代的数学名著，成于公元一世纪左右，内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有 246 个与生产、生活实践有联系的应用问题，是中国乃至东方第一步自成体系的数学专著，在中考中考查的出现的次数最多.

此外，对于中考试题中出现的《九章算术》，永州卷考查了负数，吉林卷、大连卷考查一元一次方程，泰安卷、威海，绍兴卷考查二元一次方程组，泸州卷考查勾股数计算公式，岳阳卷考查圆、勾股定理等.

《详解九章算法》是我国宋朝数学家杨辉所著，为了使《九章算术》便于自学，杨辉对该书的 246 个题目中较难的 80 题作了详解，并增添了“图解、乘除算法和 纂类”三卷．对于书中的内容，巴中卷考查幂的展开式，广元卷考查杨辉三角.

《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，是一部最具智慧且激发人探寻数学奥妙的书，成书大约在四、五世纪，作者生平和编写年不详.共三卷.其中卷下第 31 题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖.贵州、成都、南充、广西卷考查一元一次方程，荆州卷、衡阳卷考查二元一次方程组.

《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前 1 世纪，在数学上的主要成就是介绍了勾股定理.江西卷考查相似三角形，黄冈卷考查解方程、求代数式值，包头卷考查赵爽弦图与三角函数.

《算学启蒙》是由我国元朝数学家朱世杰所著，把当时的初级和中级数学知识分门别类，由浅入深，循序渐进，自成系统，是一部很好的数学启蒙读物.连云港卷、枣庄卷考查一元一次方程，

《四元玉鉴》为元代数学家朱世杰所著.它是一部成就辉煌的数学名著，受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国数学著作中重要的一部，是中国筹算系统发展的顶峰.张家界卷考查了分式方程.

《张丘建算经》，北魏张丘建著，共三卷，成书在 484 年之前.现传本保存 92 个问题.大部分为当时社会生活中的实际问题，问题的创设和解法均超出《九章算术》，为《九章算术》之后有突出成就的数学著作.嘉兴卷考查二元一次方程组.

中国古代数学名著是我国的数学瑰宝，显示了我国古代数学家和劳动人民的智慧，对于老师和学生来说，是宝贵的文化遗产和精神财富，要好好的去学习、欣赏和继承，来丰富自身的文化底蕴.

三、数学思想

例 5 ．（福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 π 的近似值为 3.1416 ．如图 5 ，⊙O 的半径为 1 ，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 ⊙O 的面积，可得 π 的估计值为 3√3/2 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 π 的估计值为（　　）





注：本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，体现了数感与推理能力．“割圆术”的核心思想就是把多边形的面积看作圆的面积，正多边形的边数越多，求解的结果的估计值就越准确，微积分学是微分学和积分学的总称. 它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分.无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题.在教材中就有微积分思想的呈现，比如求 1/2+1/4+1/8+…… ，解决的方法就是画一个边长为 1 的正方形，不断把面积分割，最后的结果就是原来的正方形的面积 1 .

例 6 ．（内江）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图 7 ，在矩形 ABCD 中，AB=5 ，AD=12 ，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，点 E 为 BC 边上的一个动点，EF⊥AC ，EG⊥BD ，垂足分别为点 F,G ，则 EF+EG = _________ .
               




注：此题考查了矩形的性质、勾股定理．难度适中，作辅助线后，根据出入相补的原理，进行面积的转化，就解决了问题．出入相补原理是一种数学思想方法，也可以看作数学思想，其实整个初中阶段几何与图形的问题，很多都是运用出入相补原理去解决问题，最经典的就是我们熟悉的运用割补法证明勾股定理[3].

四、数学融合

例 7 ．（白银）如图 9，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图 10 在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线 AB 与地面 CD 所成夹角 ∠ABC=50° 时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 EF 与地面的夹角 =（　　）





注：本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．实际上，物理试卷也可以出这个题目，现在在数学试卷中，也巩固了物理知识，显示了数学与物理的融合.

例 8 ．（兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方：操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北廉，则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图12，用几何语言叙述作图方法：已知直线 a 和直线外一定点 O ，过点 O 作直线与 a 平行．（1）以 O 为圆心，单位长为半径作圆，交直线 a 于点 M,N ；（2）分别在 MO 的延长线及 ON 上取点 A,B ，使 OA=OB ；（3）连接 AB ，取其中点 C ，过 O,C 两点确定直线 b ，则直线 a∥b ．按以上作图顺序，若 ∠MNO = 35° ，则 ∠AOC =（　　）


图 12



注：本题是已知平行线的结论，求角，过程简单，本题中平行线的作图法，我们也可以证明，也较简单，在我国古代天文学中，也显示了数学的应用价值.

在各地中考中，也有不少与各学科融合的试题，比如山西卷中国古代的“四书”与概率，呈现了语文素养，数学与物理的融合有：山西卷弹簧秤与一次函数、凸透镜与角度，达州卷物理实验与函数图像，广安卷弹簧测力计与函数图像，凉山州卷光的折射与角度，台州卷自制密度计测量液体的密度与函数关系式、“刻漏”与函数关系式，温州卷气体压强与函数关系式等.数学与化学融合的有滨州卷溶液 PH 值与图像，遂宁卷十二烷的化学式等.数学与生物融合的有：枣庄卷活化石银杏与坐标，山西卷树的生长与一次函数等.数学与历史融合的有新疆卷烽燧与三角函数等.数学与音乐融合的有达州卷乐器与黄金分割等.数学与体育融合的有绍兴卷篮球架与三角函数等.数学与信息技术融合的有内江卷信息技术与分式方程等，基本上各学科的试题都能在数学试题中呈现，这也是基于学生核心素养要求，增强学科育人的体现[4].

五、数学科技

例 9 ．（广东）2023 年 5 月 30 日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3 名航天员顺利进驻中国空间站．如图 13 中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 AC=BC=10m ，两臂夹角 ∠AOC=100° 时，求 A,B 两点间的距离．（结果精确到 0.1m ，参考数据：sin50°≈0.766 ，cos50°≈0.643 ，tan50°≈1.192）





注：本题通过做辅助线，构造出直角三角形，运用三角函数即可求解．神舟十六号载人飞船显示了我国的科技实力，本题的计算虽然简单，其实在载人飞船的设计、制造、发射、回收等过程中也离不开数学知识的应用.

例 10 ．（山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图 15 是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 A ，曲线终点为 B ，过点 A,B 的两条切线相交于点 C ，列车在从 A 到 B 行驶的过程中转角 α 为 60° ．若圆曲线的半径 OA=1.5km ，则这段圆曲线 AB 弧的长为（　　）





注：本题要求的是弧长，先求出弧所对的圆心角即可，中国高铁的飞速发展令世界瞩目，在设计转弯时，是圆的曲线，能保证高铁的平稳运行，显示了数学的应用价值及创新意识.

此外，长沙卷考查神舟十六号载人飞船的高度与速度，常德卷考查神十五号与概率，烟台卷考查北斗定位与科学计数法、风力发电机与三角函数，本溪、日照、遂宁卷分别考查 5G 网络、手机芯片、最细的碳纳米管与科学计数法，菏泽考查无人机与高度，兰州卷考查新能源汽车与增长速度，包头卷考查扫地机器人与一次函数、二次函数，广东卷考查优选法与黄金分割数，还有一些地区的试卷考查古代的科技，如张家界卷考查“莱洛三角形”的周长，湘潭卷考查筒车与三角函数，宜宾卷考查《梦溪笔谈》计算圆弧长度的“会圆术”等，一个国家的科技水平，归根接底取决于数学等基础学科的水平，这也是学好数学的前进动力.

六、数学交流

例 11 ．（湖北鄂州）2002 年的国际数学家大会在中国北京举行，这是 21 世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图 16 ，用四个全等的直角三角形（RtΔAHB ≌ RtΔBEC ≌ RtΔCFD ≌ RTΔDGA）拼成“赵爽弦图”，得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH ，连接 AC 和 EG ，AC 与 DF、EG、BH 分别相交于点 P、O、Q ，若 BE:EQ=3:2 ，则 OP/OE 的值是     　.
  　．

图 16



注：本题难度较大，运用全等三角形、正方形、方程、相似等知识求解，用“赵爽弦图”证明勾股定理，代表了我国古代数学家的智慧，内涵丰富，可充分拓展，在国际数学家大会进行交流，有助于外国数学家进一步了解我国古代数学文化，增强中外数学家友谊，有利于互相合作，共同进步，更好的传播数学.

例 12 ．（浙江温州）苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约 218000000 公里的行星命名为 “苏步青星”．数据 218000000 用科学记数法表示为（　　）



注：本题考查科学计数法，正确答案为 B ．温州被称为“数学家之乡”，涌现出姜立夫、苏步青、谷超豪等二三十名数学家，主要源于重视数学的社会传承、德学兼优的数学师资、刻苦实干的地域品性以及地处信息开放的沿海环境四个方面.苏步青是我国著名的数学家，自身取得卓越的成就，也将数学一代代传承与交流，另外“苏步青星”也可以看作天文学与数学间的交流，更激发人们去研究数学、学习数学.

此外，温州卷考查第七届国际数学教育大会图标与勾股定理、相似，杭州卷考查第二十四届国际数学家大会会徽与三角函数等，随着中外数学文化交流的深入，有利于学生开阔视野，拓展思维.

通过 2023 年的中考数学文化试题分析，经典文化感到荣誉自豪、数学名著增加文化底蕴、数学思想解决疑难问题、数学融合增强学科育人、数学科技呈现科学基石、数学交流促专业成长.在以后的教学中，根据陶行知先生“做中学”教育思想，教师可以总结提炼各种数学文化试题，让学生品读赏析，阅数学文化书籍，感受数学文化熏陶，提高数学文化素养.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022 年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2022：2,92.
[2]罗伟，吕中学. 再探 2022 年的中考数学文化试题[J].中学数学月刊, 2022（11）:48-51.
[3]岳增成，陈梓欣，林永伟. 中华传统优秀文化进课堂：价值、标准与路径——以“出入相补原理”为例[J].小学教学（数学）, 2022（4）:4-7.
[4]罗伟. 例谈 2022 年中考中数学与其他学科的融合[J].中小学数学, 2023（7-8）:57-59.

原创 罗伟 好玩的数学 2023-08-25 17:03 发表于江西