三角比相关的不等式的一个小备注

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三角比相关的不等式的一个小备注

作者 | 张镇华（台湾大学数学系名誉教授）

来源 |《数学传播》2023 年第 47 卷第 1 期（185）

中山大学应用数学系的“双周一题”网络数学问题征答活动历史悠久，深受各界好评。数学传播季刊最近有一篇连威翔的文章 [1]，讨论九十二学年度第一学期的第三题 [2]，题目如下：



这是一道链接三角比与角度的不等式，解题的起手式当然少不了下面这一个三角比与角度的最根本不等式：



其证明可由图 1 中“ΔOAB 面积 ＜ 扇形 OAB 面积 ＜ ΔOBC 面积”的关系推得。


图 1 图参见 [1]。

不论是 [1] 还是 [2] 都有推导三角比公式后，再利用(2)来证明的方法。以 [2] 为例，其推导如下。



我们的观察由此开始。光是利用微分，并没有将微积分用到极致。微分最后的一个小终点是泰勒展开式。考虑正弦函数和正切函数的泰勒展开式如下。



其中我们只考虑 θ∈(0,π/2) 的部分。如果我们只取两项当作估计，其实会有：





在此我们可以看到，利用算几不等式时，(5)的推导比(3)更自然。在此，我们征求，不用微积分的证明方法。利用泰勒展开式，我们还可以看到余弦函数的公式



这看起来和正弦函数及正切函数不是一个等级，因为其第 1 项是 1 ，不是 θ 。不过我们可以做一个小变动，考虑



由此也可以看出如下的不等式：



我们邀请读者用各种方法来证明(6)。

参考文献

[1]连威翔。从一道三角函数不等式的证明谈起。数学传播季刊，46（3），69-78，2022 。

[2]“双周一题”网络数学问题征答，第三题，中山大学应用数学系，九十二学年度第一学期 （92 年 10 月 17 日公布）。

张镇华 好玩的数学 2023-05-31 07:04 发表于江西

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原来陆老师也关注“数学传播”这个电子刊物啊！这是华文普及性数学刊物里最好的了，可惜大陆没有这样的好刊物。