Bojarski(以下简称“B”):要追溯波兰的现代数学传统的源头,也许要回到上个世纪初(即二十世纪)、或是十九世纪末期的二十年左右。实际上,波兰现代数学有两股主要的起源。其一来自于法国的 H. Lebesgue 。
平:法国的 Lebesgue ?
B:是的,Lebesgue 与其他从事复变函数论(complex function theory)、集合论(set theory)及拓朴学(general topology)研究的法国数学家,如 P. Montel 、E. Borel 、M. Frechet 等人,甚至稍早的 E. Picard 及 H. Poincaré(从事几何、分析与微分方程的研究)影响了一群留学法国的波兰数学家因此而开启形成了---波兰数学学派。
B:Janiszweski 是一位非常年轻的数学家,自法国学成归国之后,他兴起了创办「Fundamenta Mathematica」数学期刊的构想。Janiszweski 和一群朋友们共同提出了一项波兰数学发展计划 --- 稍后称之为 Janiszweski 计划(Janiszweski program)。这个计划最主要的新概念在于:年轻波兰数学家应当把思考与研究心力投入新兴的数学研究领域,而非仅是在国际「研究市场」上竞逐那些基础确立、所谓的古典数学的领域。在 Janiszewski 计划中,充满前景的创新研究方向有三:第一是集合论(set theory)与拓朴学(topology); 第二是实分析(real analysis)及新兴的泛函分析(functional analysis); 第三则是基础数学与逻辑(foundations of mathematics and logic)。一般认为,在这些领域上,波兰数学家很有机会以他们的新想法运用到研究工作上,得到重要的科学成果,走在同时代数学研究的尖端。
哲:Sierpinski 同样也是逻辑学家吗?
B:不,Sierpinski 研究集合论 、一般拓朴学与实分析。此外还有算术数论。
哲:哦。
B:基础数学与逻辑上有许多重要的数学家。我们想到的有 J. Lukasiewicz 是许多概念的创始者,接着出现的大家是 Alfred Tarski ,而在他之前尚有 S. Leśniewski 及 K. Ajdukiewicz 。之后,就我印象所及者还有 A. Mostowski ---他也是国际上重要的数学家。
在实分析领域上也出了许多重要的数学家。让我们回想:复分析与实分析上有 S. Saks 、A. Zygmund 及 J. Marcinkiewicz 等人。同时,J. Schauder 开始了他在刚开始发展的泛函分析与无穷维拓朴学(infinite dimensional topology)著名的开创工作,这个工作与偏微分方程新兴理论中突破线性与非线性问题的新观点有密切的关联。
在 J. Schauder 之前,还有 Zaremba ,他就某种意义而言与新兴波兰数学学派没有直接接触。Zaremba 独立发展了一个比较小却活跃的研究团队 --- 主要在 Crakow(波兰南部一城市)--- 研究方向为偏微分方程的古典理论与在理论力学(theoretical mechanics)上的应用。此团队是在与法国学派的联系的基础上发展而成---主要是 H. Poincaré 学派,Picard ; 古典位势理论(classical potential theory)以及偏微分方程的研究。
Zaremba 的传承是 Poincaré 学派。但是,实分析受巴黎的 H. Lebesgue 、N. Luzin 与其研究团队、俄罗斯的 A. Khintchin 与 A. Kolmogorov 等人的影响而发展的。接下来,Stefan Banach 以泛函分析奠基的工作而崛起。这二个方向都是在 Sierpinski 与 H. Steinhaus 组成的团队的学术活动基础上发展。
B:举例而言,复分析、古典分析,甚至是微分方程等领域的研究在二十世纪初期数十年内并未广为发展。稍后,在 1930 年代,主要是 J. Schauder 学习各种领域,得以在偏微分方程 、函数空间(functions spaces)、线性与非线性方程的边界值问题上获得重大的进展,只要提到 Schauder 先验估计(Schauder à priori estimates)或是无穷维拓朴学上的Leray-Schauder指标理论(Leray-Schauder index theory)就够了。同样地,来自 Crakow 的 T. Wazewski 在常微分方程(ordinary differential equations)理论中的根本工作也值得一提。另外还有一位非常杰出、造诣极深、研究领域宽广的数学家在波兰开始了他的数学生涯--- Leon Lichtenstein 。
事实上,起初我刚进大学所修的是物理,甚至是实验物理(experimental physics)。那是在二次世界大战后的第一年让人振奋的氛围中,当时的我们不论男孩、女孩对于知识、教育及阅读是这样的渴求,我手上有数本战前发行的书籍,是我高中就有的,包括:生物学、化学、物理学、天文学、天体物理学(astrophysics)。其中有一本由英国天体物理学家 A. S. Eddington 爵士所着的「The Expanding Universe」,影响我的思考,也深深启发了我的想象力,于是我决心致力于了解天体宇宙及原子宇宙的奥秘。虽然我来自一个可说是贫困的教师家庭,但没有人虑及教育经费及未来实际生活用度,工作与学习的热忱将一切的难题迎刃而解!当然,国家将补助大部分必要的开销!那正是我的学习态度。因此,当我中学毕业之后,我进而修习物理学与天文学。
然而,冲击在化学与物理的导论及实验课发生,我开始与助教们争辩 --- 希望对于已讨论过的步骤及实验内容能够了解得更深、更透彻,提出了更多的问题。而所得到的答案却无法满足我,论据无法符合,观念介绍的不够清晰、不精确等等。凡此种种在我心里产生一种困惑与失望的感觉。然后,我修习了一门由 Zahorski 教授所开授的「数学分析 I」(这是当初我们学校的课名)。Zahorski 是研究实数函数理论(real function theory)与三角级数(trigonometric series)很有成就的专家。他的课程是以绝对精确、绝对严谨的方式呈现。光是实数基本运算的交换性之完整证明,他就花了好几个钟头的时间!我感受到某种程度的启发!
B:嗯,当你倾听他简洁的说明他的观点,他的课程、他的演讲,都会给你留下难忘的印象,即使往往并不容易跟上他的思路。我不是 A. Kolmogorov 直接指导的学生,但我常常参加他的公开讲演或研讨会。莫斯科数学学会每周的聚会扮演着特殊的角色,这个聚会是每周二晚间八点钟举行,Kolmogorov 常常来并做演讲,而演讲厅总是因此大爆满。参加这个聚会的有许许多多来自各个世代的、活跃的数学家,他们齐聚一堂,切磋当前的研究议题,不一定是主要演说者所讲的主题,有点像数学研究市集。通常讲堂内总是坐满人。而这聚会往往会超过受邀演讲者预定的演讲时间,人们会延续至休息时间进行小团体间生动的讨论,漫步在大学建筑中邻近的走廊,交换着彼此对演讲内容的心得及其它数学活动,往往持续到很晚,整体说来,是个辛苦兼具启发性工作与真正有效交流的夜晚。
B:那是之后的事了,在我转换至微分方程组之后。我在 MGU(莫斯科大学)开始修习 Ph.D. 时,D. E. Menshov 是我的指导教授。Menshov 是一个非凡的人,在实分析与三角级数研究上杰出的数学家---如同我在波兰的老师 Zahorski 那般。在跟随 Menshov 学习一年半之后,我和 Menshov 及 Kolmogorov 各进行了一场谈话。在莫斯科大学数学力学系(Mechmat),Kolmogorov 是当时所有博士班学生的指导老师,所以他在一年之间定期安排时间与我们面谈,询问我们的研究进度。当你考虑对未来研究计划做特殊决定,你必须与 Kolmogorov 谈。所以,在修 Ph.D. 的第二年,我与 Menshov 谈,接着与 Kolmogolov 谈论有关转换研究方向的想法。事实上,这样的想法始于与 P. L. Ulyanov 的讨论,Ulyanov 也是一名 Ph.D. 学生,在 Menshov 组别之下,还有 N. Bari ,这是他 Ph.D. 学生生涯最后一年。我们的结论是我们共同的研究领域——三角级数理论——只不过是数学中很狭小的一部分,某种意义来说不在大路上,也不属于那些在 Mechmat 萌芽蓬勃发展的其他专题研讨会,如:拓朴研讨会 、Sobolev 的偏微分方程研讨会、几何研讨会,及阵容坚强的泛函分析研讨会等。因此我决定征询 D. Menshov 的意见。他说,他了解我,并且也认可我追求更宽广数学研究的意愿。于是,我将我的计划呈报给 Kolmogorov ,他也同意。 “在偏微分方程领域当中,有许多待解的问题,你可以试一试。” 他这么告诉我,我便转至 Sobolev-Petrovsky 带领的小组。
此外,S. Sobolev 与 I. Petrovsky(后者虽担任莫斯科大学校长,仍参与科学活动)这一组有一群较年轻的杰出教授,包括了 O. Oleini k 、E. Landis 、M. Vishik 等等。来自 Tbilisi 的 I. Vekua ,是新加入的数学家,由他指导的 Ph.D. 学生还不太多。因此请I. Vekua 担任我的指导教授是再自然不过的了。在一次资格考的面谈过后,他同意收我为学生,而我们也开始了研究工作。我非常开心,因为很快地就证实了这决定对我非常有助益。凭借着我在实分析与复分析的背景,我很快地开始学习奇异积分方程(singular integral equations)及相关的边界值问题(boundary value problems)。我也学习了半共形映射理论(quasi-conformal mappings theory)及相关的 Beltrami 方程——两周前我也在台北附近的研讨会上讲演了相关的内容。总之跟随 I. Vekua ,我的研究很有收获,并且这个方向也持续了逾二十个年头。
B:喔,不,Menshov 的房间相当小,非常非常小,整个房子都很小。那儿有一张床、两张椅子、靠窗有张狭窄的小桌子。这房间也非常窄,所以介于床与墙之间、自窗户通往门口的通道也很狭窄,容不下一张椅子,当我和他在窗前工作时,必须把放在门边的椅子抬起来,越过床上放到桌前。我从 D. E. Menshov 的著作中,知道 Menshov 发现非常艰深的结果。当我在 20 岁第一次到他的家之后,我的心中溢满了对 D. Menshov 的敬意——钦佩他在最拮据、最简朴的生活条件下以坚定的意志与研究能力创造出如此深奥的数学。往后的人生,我会将此感觉铭记于心,而我似乎也明白了,要得到深入的数学结果,自己需要付出多大的心力。