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王牌对王牌:微积分发明权之争

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发表于 2023-5-27 08:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
王牌对王牌:微积分发明权之争

以下文章来源于南方医科大学通识教育 ,作者通识君


人类探索浩渺宇宙


高铁日行千里


卫星云图观测并预警飓风

上面三幅图片展示的科技进步图景,背后硬核的理论基础就是微积分。可以说,微积分对于科技的深刻影响、对于人类的重大意义怎么强调都不为过,它的发展是科学技术发展的重要的里程碑。

那么什么是微积分?微积分学,是数学中的基础分支。内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用。微分学是一套关于变化率的理论,它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论;积分学,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

01  微积分产生的背景

罗马不是一天建成的。微积分当然也不是一天产生的。

早在公元前 7 世纪,古希腊科学家、哲学家泰勒斯对球的面积、体积与长度等问题的研究就含有微积分思想。古希腊数学家、力学家阿基米德(公元前 287 ~ 前 212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽,他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想,例如 3 世纪三国时期的刘徽,他的积分学的思想主要有两点:割圆术及求体积问题的设想。






17 世纪欧洲进入新时代

但微积分产生的契机直到 17 世纪才出现。那时,欧洲结束了中世纪的黑暗,进入新时代。航海、造船、天文和建筑等行业的发展都需要新的数学理论支撑。摆在数学家们面前的是无法用过去的知识解决的四类问题:

第一类是瞬时速度问题及其逆问题,也就是运动中速度与路程的互求问题。人们在研究中发现计算物体在某时刻的瞬时速度,不能像计算平均速度那样用移动的路程除以运动的时间,因为在给定的瞬间,物体移动的路程和所用的时间是 0 ,而 0/0 是无意义的。

第二类问题是求曲线的切线的问题,它一方面用来解决光学望远镜的设计问题,另一方面用来求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向——即轨迹的切线方向。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题,用于研究行星运动和炮弹发射等问题。

第四类问题是求和问题,用于求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。

围绕着解决上述四个核心的科学问题,微积分至少被 17 世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。如法国的费马、笛卡儿、英国的巴罗、德国的开普勒都提出许多很有建树的理论。





然而,微积分的真正发明要归功于两个“天才中的天才”——牛顿和莱布尼兹。他们在前人的基础上走出了最后一步,使微积分的巍峨大厦得以建立。

02  王牌对王牌:牛顿和莱布尼兹

王牌一:艾萨克·牛顿(英国)


艾萨克·牛顿(1643 年 1 月 4 日 — 1727 年 3 月 31 日)

牛顿出生前三个月父亲就去世了,母亲伤心过度,早产生下了他,出生时他只有差不多三斤重,谁都想不到这样一个孱弱的小生命竟然成长为一位震铄古今的科学巨人,并且活到了 85 岁高龄。

小牛顿在学习方面并未展现惊人天赋。不过这完全是因为他没把心思放学习上。小时候的他沉默寡言,独来独往,喜欢读介绍简单机械模型制作方法的读物,并喜欢动手制作各种小玩意,如带灯的风筝,可以磨面粉的磨坊模型;会滴水到脸上催他起床的水钟等等,是一个不折不扣的手工达人。

牛顿 12 岁进入离家不远的格兰瑟姆中学,寄宿在一位药剂师家里,使他受到化学实验的熏陶,还迷恋上药剂师的女儿斯托克小姐。可惜这段感情并无结果,这是牛顿一生唯一一段爱情。后来他终身未婚。迫于生计,母亲让牛顿停学在家务农,然而牛顿并不是一个称职的庄稼人,他经常埋首书卷忘了干活。幸亏他的舅父资助了他,让他得以重返学校,到大学读书。

18 岁的牛顿以减费生的身份进入剑桥大学三一学院。两年后,三一学院出现了新气象,卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座,讲授自然科学知识,如地理、物理、天文和数学课程。第一任卢卡斯教授巴罗是一个博学的科学家,他独具慧眼,如伯乐发现千里马一样,一眼看出了牛顿的潜质,于是他把自己的数学知识全部传授给牛顿,将他引向了近代自然科学的研究领域。在巴罗门下的这段时间,是牛顿学习和成长的关键时期。巴罗教授讲授的运动学课程,将牛顿引向了微积分研究。巴罗是牛顿的恩师,他却谦逊地说“自己最伟大的成就就是培养了牛顿”;他甚至辞去了卢卡斯教授一职,让贤给了 31 岁的牛顿。

1665—1666 年,严重的鼠疫席卷伦敦,剑桥大学停课,牛顿于 1665 年 6 月离校返乡,这两年竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月,他的三大成就——微积分、万有引力、光学分析的思想,都是在这个时期孕育成形的。


《自然哲学之数学原理》


《牛顿光学》


《宇宙体系》

微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。牛顿为了解决运动问题,才创立了这种和物理概念(“流数”)直接联系的数学理论,牛顿称之为“流数术”。牛顿在前人的基础上,对以往分散的努力加以综合,将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分。他将统一算法应用于求曲率、拐点、求积、求引力等 16 类实际问题,并确立了这两类运算的互逆关系,从而完成了微积分发明中最关键的一步,为近代科学发展提供了最有效的工具,开辟了数学发展史上的一个新纪元。

牛顿于 1666 年 10 月所写的 《流数简论》 历史上第一篇系统的微积分文献,可惜牛顿对公开发表论文这事不那么感兴趣,这篇论文未发表!

王牌二:莱布尼兹(德国)


莱布尼兹(1646 年 — 1716 年)

莱布尼兹从小就是“别人家的孩子”。他出生于高知家庭,是历史上少见的通才,研究成果遍及法学、力学、逻辑学、地质学、植物学等 40 多个领域,被誉为 17 世纪的亚里士多德。他还是最早研究中国文化和哲学的德国人。对了,那句著名的哲言“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口。

他搞起发明创作来也不逊于牛顿。他发明了空气压缩机、无液气压表、抽水机、传动装置。他还发明了乘法计算器,送了一台复制品给当时中国的皇帝——康熙。

博学多才的他并不是一名全职的科学家。他热爱体面、高收入的职业,因此他给贵族当法律顾问,受雇于五个欧洲王室,频繁往返于各个城镇。他的数学研究很多都是在马车上完成的。

1684 年,他发表论文《一种求极大值极小值和切线的新方法》,这是世界第一篇公开发表的微分学论文,定义了微分概念,创造了微分符号 dx 、dy ;1686 年,他在《学术学报》发表了世界第一篇积分学论文,使用了积分符号。


(他用拉长的 s 作为积分符号,s 代表拉丁语中的 summa ,即求和之意,因此这个符号简约而准确地表述了积分运算的本质就是求和)

欧洲大陆的数学得以迅速发展,莱布尼兹创造的巧妙符号功不可没。他被称为“数学史上最伟大的符号学者之一”。除了微积分符号,我们非常熟悉、今天仍在使用的很多数学符号也是莱布尼兹的创造,如商“a/b”,比“a:b”,相似“∽”,全等“≌”,并“∪”,交“∩”,等等。

03  微积分发明权之争



1699 年,瑞士数学家德丢勒称“牛顿是微积分的第一发明人”,一石激起千层浪,引起了牛顿与莱布尼兹“微积分创立者”之争的轩然大波。

1708 年,牛津的凯尔在《哲学学报》力挺“牛顿是微积分的最先发明人”;1711 年,《学术学报》称牛顿是“剽窃”,值得注意的是莱布尼兹是《学术学报》的编委;1712 年, 英国皇家学会调查组公布调查结果支持牛顿。值得注意的是牛顿为该学会会长,其好友哈雷为调查组组长;1716 年,莱布尼兹匿名挑战牛顿,提出“对于一个参数曲线而言,正交常角的轨道是什么?”这样一个在他看来能难倒牛顿、证明自己发明权的问题。

当时牛顿已经不在科研一线,且已 76 岁高龄,但他下班拿到题,晚餐前就完美地解决了。这让莱布尼兹输得心服口服,从此不再参与优先权的争论。

然而,事态的发展却出乎了两位数学家的预料。英国数学家和欧洲大陆的数学家因为民族主义情绪各支持一方,成为长期对立的两大阵营。英国数学家因为支持牛顿,拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前,致使 18 世纪英国数学发展落后于欧洲大陆一百年。这次争端被称为“科学史上最不幸的一章”

事实上,微积分是牛顿和莱布尼兹在前人的基础上各自独立地建立起来的,区别在于两人研究的角度不同。牛顿是从物理学出发,应用上更多地结合了运动学,造诣要高于莱布尼兹,发明时间比莱布尼兹早10年;而莱布尼兹则早于牛顿3年公开发表论文,他是从几何问题出发,运用分析学方法引进微积分概念,进而得出运算法则,其数学的严密性与系统性为牛顿所不及。至于符号,莱布尼茨的符号系统简洁、通用、能准确严谨地揭示公式本身的逻辑意义,远优于牛顿的符号系统,对微积分的发展起到了很大的促进作用。


(牛顿把流数符号引入微积分,每高一阶字母上就多一个点,无法用于高阶运算)

牛顿和莱布尼兹的故事到了尾声。不过微积分的发展却并未结束。

在微积分的发展过程中,出现了这样的局面:一方面是微积分创立之后立即在科学技术上获得应用,从而迅速地发展;另一方面是微积分学的理论在当时是不严密的,出现了越来越多的悖论和谬论。牛顿和莱布尼兹在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一。牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量;莱布尼兹对此也不能自圆其说。这些基础理论方面的缺陷,最终导致了第二次数学危机的产生。

直到 19 世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认真研究,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚定基础。才使微积分进一步的发展开来……

本文节选自南方医科大学《通识讲坛精彩回顾:走近数学大师——追溯微积分发展脚步,感受数学之美》

科学元典 2023-05-26 21:05 发表于安徽



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