这道题的解法错在哪里？

李百申

我在回答一个问题多天之后，却对我的回答的前半部分有点疑惑。为了比较好说明，我将问题修改了一下，请大家看一看解法中错在哪里？   
长方形ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=2。AC交BD于O，OM垂直CD交 CD于M。E、F是CD上两动点，且F在D和M间，EF=2。求OF+BE的最小值。                                          
解：作O关于CD的对称点G，则OF=GF，作F关于OG的对称点H，则 GH=GF=OF，并且OF∥GH。所以OF+BE的最小值就是求GH+BE的最小值。将GH平移（或者过E作EN∥GH，且EN=GH）到EN。即N、E、B共线时EN+BE是最小值。我们得到GH∥BE时，即OF∥BE时，OF+BE是最小值。   
过O作OP∥EF交BE于P，则OP=EF=2，所以DE=4，所以DF=CE=2，BE=2OF。BE=√(BC^2+CE^2 )=2√2，OF=\(\sqrt{2}\)。  
所以，OF+BE的最小值是3√2。   
这个答案是不对的。当F无限趋近M时，OF+BE无限接近1+√5。  
可是，上面的解决方法错在哪里？为什么F在C、M之间可以用这个方法，而F在D、M之间不能用这个方法？这不成了悖论？   
欢迎大家留言找错。   
附：当F在右边时：作O关于CD的对称点G，则OF=GF，OF+BE=GF+BE，GF+BE的最小值就是GF平行BE时。这时 △ OMF相似于 △ BDE。所以有BE=2OF，ED=2MF。设EC=x，BE= √(4+x^2 )  则FC=2+x，MF=3-（2+x）=1-x，OF= √(1+〖（1-x）〗^2 ) ，由BE=2OF，解得x= 2/3 ，OF= √10/3 ，BE= (2√10)/3 。所以OF+BE的最小值是 √10 。

定稿于2023年4月25日。   

李百申

真心求解惑

Ysu2008

问题出在“将GH平移”这一步，画图就明白了。

李百申

Ysu2008 发表于 2023-5-4 18:41
问题出在“将GH平移”这一步，画图就明白了。

谢谢。但是你画的不是F在M、D之间，结果是不同的。

Ysu2008

李百申 发表于 2023-5-5 15:41
谢谢。但是你画的不是F在M、D之间，结果是不同的。

若 F 限制在DM之间，那么 F 与 M 重合时取得最小。

李百申

Ysu2008 发表于 2023-5-5 16:44
若 F 限制在DM之间，那么 F 与 M 重合时取得最小。

是的，我主要是想问解法错在哪里

chenjiahao

李百申 发表于 2023-5-5 17:33
是的，我主要是想问解法错在哪里

在原解法中，假设 F 在 D 和 M 之间时，GH∥BE，因此 OF+BE 的最小值为 GH+BE 的最小值。然而，当 F 靠近 M 时，GH 和 BE 的夹角变小，因此 GH+BE 的最小值也会变小，不一定等于 OF+BE 的最小值。

李百申

我有点不太明白，“当 F 靠近 M 时，GH 和 BE 的夹角变小”，是怎么回事？