【答】【泰勒公式】为什么说【邻域】？高等数学教科书上有木有发生错误？

dodonaomikiki

这是一道习题！
题目中说：  用泰勒公式计算  \(  cos1         \)地近似值                                    


那么去套泰勒公式，
应该是 确定的某个点啊  ：  \(     x=1          \)

为什么定义中说【邻域】？
难道是   \(   1-\varepsilon    \prec    x    \prec    1+\varepsilon          \)
不理解

dodonaomikiki

再举一个例子！


看看定义怎么说

dodonaomikiki

长久盘踞在心头的一个疑问



甚为迷惑

马奕琛

\(在邻域附近是为了确保余项足够的小，这样做的近似才有意义，不然误差会极其的惊人，\)

\(如e^{x}在x=0的拉格朗日余项|R_{n}(x)|=|\dfrac {e^{tx}x^{n+1}}{(n+1)!}|(0<t<1))\)

\(如果只展开前若干项，在计算e^{100}的时候会有肉眼可见的相当大的误差。\)

\(所以计算时要求在x=x_{0}的邻域内\)

马奕琛

\(考虑泰勒展开的第一项f(x_{0}),如果f(x_{0})本身就可以直接求出，那么展开并没有太大的意义。\)

\(展开的意义在于估计一些根本无法计算的点，如cos(0.31415926)，这时就可以借助泰勒公式\)

\(根据cos(0),和一个关于0.31415926的多项式算出来，这样不仅简化了计算而且误差也比较令人满意。\)

dodonaomikiki

那么，  我是否可以这样粗俗的认为：      

我们搞出一个 \(     Taylor    \quad  expansion,     \)  她好是好，但也存在一个弊端：
就是，她无穷无尽，“子子孙孙无穷匮也”


这样一来，我们只能取她的前面几项，反正满足精度就可以啦~~~~反正后面那些东西对精度不会产生冲击、不产生影响

dodonaomikiki

进一步，我就认为\(        cos1               \)的泰勒展开我们要的结果值，相当于\( 1      \)的旁边的一个数值比如\( 1.00001      \)的余弦值




我这样理解【邻域】两个字，是否可以？
继续请教

dodonaomikiki

进一步的看，
\(     cos1,  cos2,   cos3,  ...                 \)
\(     sin1,sin2,sin3,   ...         \)
对这些玩意儿搞一下泰勒展开，
我们取到的值，其实不是精确值，其实是去掉了皮亚诺之后的【近似值】


但这好像也不是造成【邻域】一词的源头啊？
又产生一个疑问

dodonaomikiki

这样理解，
好像比较好理解！
感觉也是理解的比较到位！

dodonaomikiki

根据网上的一些传言，
这方面的知识，
可能外往里面，寻觅得到！可能存在一些非常形象生动感性的讲解视频