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f(x)=sin(x^2) ,求当 x=0 时的 4 阶导数值

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发表于 2022-7-3 21:26 | 显示全部楼层 |阅读模式
我的计算结果为\({f^{\left( 4\right)}}\left( 0\right)=-2\)
不知道计算的对不对,按理等于0才行,但我算了几遍都是-2
 楼主| 发表于 2022-7-3 21:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 泮安宁 于 2022-7-3 22:20 编辑

又算了一下还是等于-2,但是根据sinx的麦克劳林公式x^4的系数不应该是0吗


如图,sin(x^2)展开到了4阶,如果不根据sinx的麦克劳林公式带入,我用泰勒公式重新算了一下,4阶的展开式应该是这样的啊
\({x^2}+\frac{-2}{4!}x^4+o(x^4)\)
我计算的应该这样才对,为什么和直接带入sinx的麦克劳林公式得到的结果不一样呢?
我哪里计算错了吗?求大佬指点

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发表于 2022-7-3 23:14 | 显示全部楼层
本帖最后由 elim 于 2022-7-3 08:48 编辑

硬干:因为
\((\sin x^2)^{(4)}=(2x\cos x^2)^{(3)}=(2\cos x^2-4x^2\sin x^2)^{(2)}\)
\(=(-12x\sin x^2-8x^3\cos x^2)'=-12\sin x^2-48x^2\cos x^2+16x^4\sin x^2\)
所以 \(f(x):=\sin x^2\implies f^{(4)}(0)=0.\)
巧干:因为
\(\displaystyle\sum_{n = 0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=f(x)=\sin x^2 = x^2-\frac{x^6}{3!}+\cdots\),
所以\(\,\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4=0\cdot x^4\)
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 楼主| 发表于 2022-7-3 23:39 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-7-3 23:14
硬干:因为
\((\sin x^2)^{(4)}=(2x\cos x^2)^{(3)}=(2\cos x^2-4x^2\sin x^2)^{(2)}\)
\(=(-12x\sin x^2 ...

感谢大佬回复
硬干的
\(f^{\left( 4\right)}\left( x\right)=-12\sin x^2-48\cos x^2+16x^4\sin x^2\)
把0带进去不是等于
\(f^{\left( 4\right)}\left( 0\right)=-48\cos0=-48\)
吗,
也不等于零啊,我哪里理解错了吗
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发表于 2022-7-3 23:51 | 显示全部楼层
\(48\cos x^2\) 漏了因子 \(x^2\)  已订正。
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 楼主| 发表于 2022-7-3 23:52 | 显示全部楼层
elim 发表于 2022-7-3 23:51
\(48\cos x^2\) 漏了因子 \(x^2\)  已订正。

收到,谢谢
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发表于 2022-7-4 05:14 | 显示全部楼层
知道原来计算错在哪里很重要.
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