证明初等数学中的自然数立方求和公式 ∑(n=1,m)n^3=[∑(n=1,m)n]^2

Nicolas2050

Mathematics.

A mathematician emerges from a cave, hands you the piece of paper below, and asks "Could this strange-looking formulation be true?"  What is your answer?

小fisher

左边=Sn，右边=Tn，
S(1)=T(1)=1
S(n)-S(n-1)=n^3
T(n)-T(n-1)=(n(n+1)/2)^2-(n(n-1)/2)^2
=[(n^2+n)^2-(n^2-n)^2]/4
=[(n^2+n)+(n^2-n)] [(n^2+n)-(n^2-n)]/4
=2n^2·2n/4=n^3=S(n)-S(n-1)

王守恩

只要您有耐心，答案就在前面！

\(1^3=1=1^2\)
\(1^3+2^3=3^2=(1+2)^2\)
\(1^3+2^3+3^3=6^2=(1+2+3)^2\)
\(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2=(1+2+3+4)^2\)
\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2\)
\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3=21^2=(1+2+3+4+5+6)^2\)
\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3=28^2=(1+2+3+4+5+6+7)^2\)
\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3=36^2=(1+2+3+4+5+6+7+8)^2\)
\(1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3=45^2=(1+2+3+4+5+6+8+9)^2\)

luyuanhong

波斯猫猫

查百度，其上有多种证法

王守恩

王守恩 发表于 2022-7-5 04:52
只要您有耐心，答案就在前面！

\(1^3=1=1^2\)

试证。

\(1^3=1*1\)
\(2^3=1*1+2*2+1*3\)
\(3^3=1*1+2*2+3*3+2*4+1*5\)
\(4^3=1*1+2*2+3*3+4*4+3*5+2*6+1*7\)
\(5^3=1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+4*6+3*7+2*8+1*9\)
\(6^3=1*1+2*2+3*3+4*4+5*5+6*6+5*7+4*8+3*9+2*10+1*11\)