a,b,c＞0，证明不等式 3(a+b+c)≥8(abc)^(1／3)+[(a^3+b^3+c^3)／3]^(1／3)

Nicolas2050

不等式证明：

elim

says it's also in Taiwan TST 2014.

\(\because\;\;f(x)=\sqrt[3]{x}\) 是(下)凸函数。据Jensen不等式有
\(9\sqrt[3]{\small\dfrac{8abc+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}{9}}\ge 8\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\).  
另一方面，\(3(a+b+c)\ge 9\sqrt[3]{\small\dfrac{8abc+\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}{9}}\Longleftarrow\small\dfrac{(a+b+c)^3}{27}\ge\dfrac{24abc+a^2+b^2+c^2}{27}\)
\(\Longleftarrow a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\ge 6abc\Longleftarrow AM\ge GM.\quad\small\square\)

luyuanhong

楼上 elim 的解答很好！已收藏。