事实上,科班出身的同学,由于受今天数学教育的一个影响,形式化思维会很严重。我们举个 n 维欧氏空间的例子。在历史上,人们首先发现了实数,也就是一维的欧氏空间,然后根据现实需要推广到高维的 n 维空间。但是从数学的角度看,n 维空间是更基本的东西,一维空间只是 n 等于 1 的特殊情况。于是讲的时候可以从 n 维的欧氏空间开始讲,再令 n 等于 1 得到一维空间的特殊结果。而且这样讲显得这个问题更深刻。
如果是这样的思维,对于数学为何产生,数学要解决什么样的问题,抽象的数学和具体的现实问题有什么样的联系这些非常重要的问题是不会引起思考的,比如说现实的物理空间是三维的,有了相对论之后加上时间研究四维时空,人们为什么要研究一般的 n 维空间,它的动力来源于哪里,它的应用又为何正确?
极限的概念并不直观,因为极限是倒着来的。比如说一个人从地方 A 走到地方 B ,极限的看法是我先走到了地方 B ,再往回看我 1/2 的时间走到了哪里,1/4 的时间走到哪里。极限是当这个运动过程完成之后回过头来看的,它和人们的直观思考方式不太一样。牛顿产生了极限这个想法,但他自己也不是很肯定,到了晚年他也还是想用这个东西,但毕竟微积分没有跟着牛顿的思路发展。当时牛顿和莱布尼茨争夺微积分发明的优先权,导致整个欧洲的数学分裂成了两部分,一部分是以牛顿为代表的英国数学家群体,一部分是以莱布尼茨为代表的欧洲大陆数学家们。英国那一派没走下去,虽然也出了麦克劳林、泰勒等人,可是这些人做的东西显然没办法跟欧拉、拉格朗日等人相比。
图 5 莱布尼兹(左)和牛顿(右)
如果要研究运动,y 随着 x 变化,自然的做法是去考察 x 变一点点的时候,y 怎么变。而这也就是我们微积分研究的无穷小方法,沿着这个方法就构成了 19 世纪之前整个微积分的发展。微积分诞生之后,它自身作为工具,又可以去研究微分方程,也可以用微分去研究几何(微分几何)。常微分方程在 18 世纪的时候,解法就已经研究得比较清楚了,此时的物理学还主要停留在力学的研究时代,所以偏微分方程主要是以弦振动方程为代表的一些简单的波动方程。到了 19 世纪物理学进入了电磁学和热学等的研究时代,所以 19 世纪的偏微分方程的发展又是以热传导方程、拉普拉斯方程为代表,格林函数法等解法也在这时诞生。