将 a,a,b,b,c,d 排成一列，a 不在一二，b 不在三四，c,d 都不在五六，有几种排法？

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請問排列

luyuanhong

题  将 a,a,b,b,c,d 排成一列，要求相同的字母都不相邻，问：共有几种排法？

解  先考虑 a,a,b,b 的排列，再将 c,d 插入，有下列几种情形：

（1）a,a,b,b 。

    这时在 a,a 之间，必须插入一个 c 或 d ，在 b,b 之间，也必须插入一个 c 或 d 。因

为要在 c,d 中选择一个插入 a,a 之间，所以有 2 种选法。

（2）a,b,a,b 。

    这时 c,d 可任意插入。在排列 a,b,a,b 的中间和两端共 5 个位置中选一个位置插入 c ，

再在插入后的排列中间和两端共 6 个位置中选一个位置插入 d 。所以共有 5×6 = 30 种排法。

（3）a,b,b,a 。

    首先必须在 b,b 之间插入一个 c 或 d ，有 2 种选法。再在插入后的排列中间和两端

共 6 个位置中选一个位置插入剩下的一个 c 或 d 。照理说应有 2×6 = 12 种排法，但是

如果 c,d 都插入 b,b 之间，按上面的计算有 4 种排法，实际只有 2 种排法，所以要减去

2 。这时共有 12 - 2 = 10 种排法。

（4）b,a,a,b 。

    类似于（3），这时共有 10 种排法。

（5）b,a,b,a 。

    类似于（2），这时共有 30 种排法。

（6）b,b,a,a 。

    类似于（1），这时共有 2 种排法。

   综合以上讨论，可知符合本题要求的不同排法总数，共有 2+30+10+10+30+2 = 84 种。

luyuanhong

题  将 a,a,b,b,c,d 排成一列，a 不能排在第一、第二位，b 不能排在第三、第四位，

c,d 都不能排在第五、第六位，问：共有几种排法？

解  先不考虑 c,d 的区别，把 c,d 看作是同一种字母，有下列几种情形：

（1）c,d 排在第一、第二位。

    这时由于 b 不能排在第三、第四位，所以只能是 a,a 排在第三、第四位，b,b 排在

第五、第六位，这时只有 1 种排法。

（2）c,d 排在第三、第四位。

    这时由于 a 不能排在第一、第二位，所以只能是 b,b 排在第一、第二位，a,a 排在

第五、第六位，这时只有 1 种排法。

（3）c,d 中有一个排在第一或第二位，另一个排在第三或第四位。

    先在第一、第二位中选一个位置放 c,d ，另一个位置放 b ，有 2 种选法。再在第三、

第四位中选一个位置放 c,d ，另一个位置放 a ，也有 2 种选法。再在第五、第六位中选

一个位置放 a ，另一个位置放 b ，又有 2 种选法。所以这时共有 2×2×2 = 8 种选法。

   综合以上讨论，可知在不考虑 c,d 的区别情况下，有 1+1+8 = 10 种排法。

   在考虑 c,d 的区别情况下，上面每一种排法，都可以交换 c,d 的位置，得到 2 种不同

的排法。所以，符合本题要求的不同排法总数，共有 10×2 = 20 种。