零分析－－数学危机的解脱

数学家孙嘉林

《古今数学思想》的著者M•克莱因对于现在的数学作了这样的总结：
“对基础的根本问题所提出的解答———集合论的公理化、逻辑主义、直观主义、或形式主义－－－都没有达到目的，没有对数学提供一个可以普遍接受的途径。”
赫尔曼•韦尔对于数学的现状和前景是这样描述的：
“关于数学最终基础和最终意义的问题还是没有解决；我们不知道向哪里去找它的最后解答，或者根本就不能期望会有一个最后的客观回答。‘数学化’很可能是人的一种创造性活动，象语言或音乐一样，具有原始的独创性，它的历史性决定不充许完全的客观的有理化。”
以上对于发展至今的数学评定及将来数学合理性的设想都是由于大卫•希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表会上演讲中提出来的有关数学基础的问题及其后来的解决状况引起的。该问题的解决也是他本人终生努力的目标。他说：
“…这样的状况…是不能容忍的。请想一想吧，数学中人人都在学习、使用这些定义和演绎方法，它们一向被看作是真理和确定性的完美典范，现在竟会导致荒谬的矛盾！如果传统数学思维存在着缺陷和漏洞，我们将到何处去寻找真理和确定性呢？”
K•哥德尔为数学基础问题的解决作出了重大贡献。他说：
“这些事实看来是暗示着康托猜想将被证明是错误的，而在另一方面，它的否证，不可能根据今天所承认的公理逻辑地证明。”
他还说：“我相信，总括已经说过的一切，人们很有理由猜想，连续统问题在集合论中的作用将导致发现新的公理，这些新的公理将使得有可能否证康托猜测。”
P•J•柯恩也为数学基础问题的解决作出了重大的贡献。他说：
“一个更可能的发展是CH的否定将被承认是一个公理。”
他还说：“这样是我们的命运，在怀疑中生活，追求一个其绝对性是我们没有把握的学科。”
看来，我们的理性已经面临进退两难的局面：
进则无望，退则无理
为了解决大卫•希尔伯特的第一、二问题，为了解决现在数理逻辑中的“蕴涵怪论”，为了解决至今仍然不能合理的微分疑难，笔者创建了定义论用以否定现有的公理集合论。
逻辑和数学发展至今仍然面临诸多无法解决的疑难，而这些疑难均和基本概念有关，并且均表现出一个共同的性质－－对比和对应的同一。这说明逻辑和数学始终有一个共同的信念：
同一是真理。
因此，欲使以上诸多疑难解除并且使数学和逻辑合理化，仅仅依靠推理的技巧是不能奏效的，人们必须改变至今仍然坚信不疑的“同一是真理”这一观念。
“零分析”就是为了否定标准分析和非标准分析的共同的“同一基础”－－等价而建立的。其内容分以下五节讲述。、
第一节   五岐定规
第二节   同一论
第三节   分界点－－零
第四节   连续统
第五节   穷竭法
在“五岐定规”节中概述了定义论的逻辑的主要内容。
在“同一论”节中否定了公理集合论的逻辑的基本概念。、
在“分界点－－零”节中解决了大卫•希尔伯特的第一、二数学问题。
在“连续统”节中批判了连续统中对比和对应的同一性，并且证明了“狄德金分划”不成立。
在“穷竭法”节中批判了极限论中对比和对应的同一性，并且用零分析的方法解决微分疑难。
该书出版后，国内外数学界前辈、数学家及热衷于本问题研究的同仁如能赐教，我将洗耳恭听，感激不尽。
                                                                           孙嘉林
                                                                             1992年元月

wlc王礼昌

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