勾股函数

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                     勾股函数
                      陈文龙
摘要：勾股函数是表述直角三角形各边为整数解的函数关系,勾股函数和三角函数可直接变换.
关键词：素数、三角函数、勾股函数、整数.
勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以直角三角形斜边为半径画圆,在圆周X、Y轴座标上的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系，对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1，X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.
定义[1]:  若素数p≡1    (mod 4)
则  p=x^2+y^2
在此我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,x、y为三角形的两直角边.则斜边与两直角边的三角函数关系为x=p^(1/2)*Cos(α),y=p^(1/2)*Sin(α),又由于x,y是整数,那么我们称x为股函数元,记为Cg(p);称y为勾函数元,记为Sg(p)；所以勾股函数和三角函数可直接变换.
引理1:  若素数p≡1  （mod 4）
则       p^2=(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
这是一勾股函数关系式.我们称Cg(2*p)为股函数,称Sg(2*p)为勾函数.
证明:  根据定义  p=x^2+y^2,那么有
     p^2=(x^2+y^2)^2=x^2+2xy+y^2=(x^2-y^2)^2+(2*x*y)^2               
将  x= Cg(p),y= Sg(p)代入上式,得：
   p^2=((Cg(p))^2-(Sg(p))^2)^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
      =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
故得证.
例1:  设p=5≡1 （mod 4）,则5^2是勾股函数.
解:  5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合“勾三股四弦五”的勾股函数关系.
    在这里我们先了解自然数N=p1*p2*…*pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数仅被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1:  若素数 p1≡p2≡1  (mod 4)
则   (p1*p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明:  因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
所以 p1*p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
     =(Cg(p1)*Cg(p2)-Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)+Cg(p1)*Sg(p2))^2
或   p1*p2=(Cg(p1)*Cg(p2)+Sg(p1)*Sg(p2))^2+(Sg(p1)*Cg(p2)-Cg(p1)*Sg(p2))^2
故   p1*p2=(Cg(p1±p2))^2+(Sg(p1±p2))^2
我们知道  ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)*Cg(p))^2+(2*Sg(p)*Cg(p))^2
又因为   Cg(2*p)=(Cg(p))^2-Sg(p)^2,  Sg(2*p)=2*Sg(p)*Cg(p)
则     ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2 =(Cg(2*p))^2+(Sg(2*p))^2
同理可得  (p1*p2)^2=(Cg(2*(p1±p2)))^2+(Sg(2*(p1±p2)))^2
故得证.
也就是说,两个互素的素数,且被4整除余1,则这两个数积的平方,可表示为两组勾数及股数互素的勾股数.
例2:         p1*p2=5*13 求全部勾数股数解
解:  因为  5≡13≡1   （mod 4）
所以 5=2^2+1^2, 13=3^2+2^2
令Cg(5)=2,Sg(5)=1,Cg(13)=3,Sg(13)=2代入得：
Cg(5+13)=Cg(5)*Cg(13)-Sg(5)*Sg(13)=2*3-1*2=4
Cg(5-13)=Cg(5)*Cg(13)+Sg(5)*Sg(13)=2*3+1*2=8
Sg(5+13)=Sg(5)*Cg(13)+Cg(5)*Sg(13)=1*3+2*2=7
Sg(5-13)=︱Sg(5)*Cg(13)-Cg(5)*Sg(13)︱=︱1*3-2*2︱=1
Cg(2*(5+13))=︱(Cg(5+13))^2-(Sg(5+13))^2︱=︱4^2-7^2︱=33
Cg(2*(5-13))=(Cg(5-13))^2-(Sg(5-13))^2=8^2-1^2=63
Sg(2*(5+13))=2*Sg(5+13)*Cg(5+13)=2*7*4=56
Sg(*(5-13))=2*Sg(5-13)*Cg(5-13)=2*1*8=16
(5*13)^2=(Cg(2*(5+13)))^2+(Sg(2*(5+13)))^2=33^2+56^2
(5*13)^2=(Cg(2*(5-13)))^2+(Sg(2*(5-13)))^2=63^2+16^2
(5*13)^2=(5*Cg(2*(13)))^2+(5*Sg(2*(13)))^2
=(5*((Cg(13))^2-(Sg(13)))^2+(5*2*Sg(13)*Cg(13))^2
=(5*(3^2-2^2)^2+(5*2*2*3)^2=25^2+60^2
(5*13)^2=(13*Cg(2*(5)))^2+(13*Sg(2*(5)))^2
=(13*((Cg(5))^2-(Sg(5)))^2+(13*2*Sg(5)*Cg(5))^2
       =(13*(2^2-1^2))^2+(13*2*1*2)^2=39^2+52^2
故全部勾数股数为(33,56),(63,16),(25,60),(39,52).
定理2:  若素数 p1≡p2≡…≡pm≡1  （mod 4）
则   (p1p2p…pm)^2=(Cg(2*(p1±p2±…±pm)))^2+(Sg(2*(p1±p2±…±pm)))^2
证明:用数学归纳法证明:
p1p2p…pm=(Cg(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg(p1±p2±…±pm))^2
令 m=1时,p1=(Cg(p1)^2+(Sg(p1))^2,等式成立;
令m=k-1时,
(p1p2…p(k-1)=(Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2
等式成立;
令m=k时,
(p1*p2*…*pk)=((Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2)*(Cg(pk)^2+ Sg(pk)^2
       =(Cg(p1±p2±…±p(k-1))*Cg(pk)-Sg(p1±p2±…±p(k-1))*Sg(pk))^2+（Sg(p1±p2±…±p(k-1))*Cg(pk)^2+(Cg(p1±p2±…±p(k-1))*Sg(pk))^2
      =(Cg(p1±p2±…+pk))^2+(Sg(p1±p2±…+pk))^2
或   
(p1*p2*…*pk)=(Cg(p1±p2±…±p(k-1))*Cg(pk)-Sg(p1±p2±…±p(k-1))*Sg(pk))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1))*Cg(pk)^2+(Cg(p1±p2±…±p(k-1))*Sg(pk))^2   
           =(Cg(p1±p2±…-pk))^2+(Sg(p1±p2±…-pk))^2
故   (p1*p2*…*pk)=(Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2
等式成立.
根据倍元公式  ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=(Cg(2*p))2+(Sg(2*p))^2  
则（p1*p2*…*pm)^2=((Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2)^2
=(Cg(2*(p1±p2±…±pm)))^2+(Sg(2*(p1±p2±…±pm))^2
也就是说,m个互素的素数,且被4整除余1,则这m个素数积的平方,可表示为2^(m-1)组勾数股数互素的勾股数.
    定理3:  设N= p1^(i1)*p2^(i2)*…*pm^(im)
若素数 p1≡p2≡…≡pm≡1  （mod 4）
则   N^2=(Cg(2*(i1*p1±i2*p2±…±im*pm))^2+(Sg(2*(p1±p2±…±pm)))^2
      (其中i为自然数,m=1,2,3,…)
证明:  根据倍元公式  p^(2*i)=(Cg(2*i*p))^2+(Sg(2*i*p))^2
同理可证
(p1^(i1)*p2^(i2)*…*pm^(im))^2=(Cg(2*(i1*p1±i2*p2±…±im*pm)))^2+(Sg(2*(p1±p2±…±pm)))^2
定理4:  设N= p1^(i1)*p2^(i2)*…*pm^(im)*q1^(j1)*q2^(j2)*…*qn^(jn)
若素数 p1≡p2≡…≡pm≡1  （mod 4）,q1≡q2≡…≡qn≡3    （mod 4）
则  N^2=( q1^(j1)*q2^(j2)*…*qn^(jn)*Cg(2*(i1*p1±i2*p2±…±im*pm))^2+(q1^(j1)*q2^(j2)*…*qn^(jn)*Sg(2*(p1±p2±…±pm)))^2
         (其中I,j为自然数;m=1,2,3,…; n=1,2,3,…)
证明:   设   qj=u^2+v^2,u=2*i,v=2*j+1为一奇一偶并不失去一般性，
qj=u^2+v^2=(2*i)^2+(2*j+1)^2≡1  （mod 4）
与已知条件不符, 所以qj≡2，3   （mod 4）,qj不能表为二数平方和,它的平方不会增加勾数股数的组解,而pi可表为二数平方和,它的证明与定理3的证明相似在此不再表述.
结论:  自然数N,其中只要有一素因子被4整除余1,则N的偶次幂都可表示为勾股数的形式.
   付勾股函数元关系式[2]：勾股函数元Cg(p) 、Sg(p)直接与三角函数Cos(α) 、Sin(α)代换
1加法公式:
Sg(p1±p2)=Sg(p1)*Cg(p2)±Cg(p1)*Sg(p2)
Gg(p1+p2)=Cg(p1)*Cg(p2)-Sg(p1)*Sg(p2)
Gg(p1-p2)=Cg(p1)*Cg(p2)+Sg(p1)*Sg(p2)
Sg(p1+p2+p3)=Sg(p1)*Cg(p2)*Cg(p3)+Cg(p1)*Sg(p2)*Cg(p3)+Cg(p1)*Cg(p2)*Sg(p3)- Sg(p1)*Sg(p2)*Sg(p3)
Cg(p1+p2+p3)=Cg(p1)*Cg(p2)*Cg(p3)-Cg(p1)*Sg(p2)*Sg(p3)-Sg(p1)*Cg(p2)*Sg(p3)- Sg(p1)*Sg(p2)*Cg(p3)
2倍元公式
Sg(2*p)=2*Sg(p)*Cg(p)
Cg(2*p)=(Cg(p))^2-(Sg(p))^2
Sg(n*p)=n*(Cg(p))^(n-1)*Sg(p)-(n!/((n-3)!*3!)*(Cg(p))^(n-3)*(Sg(p))^3+(n!/((n-5)!*5!)*(Cg(p))^(n-5)*(Sg(p))^5-…
Cg(n*p)=(Cg(p))^n-(n!/((n-2)!*2!)*(Cg(p))^(n-2)*(Sg(p))^2+(n!/((n-4)!*4!)*(Cg(p))^(n-4)*(Sg(p))^4-(n!/((n-6)!*6!)*(Cg(p))^(n-6)*(Sg(p))^6+…
(注: 函数关系式中的p1、p2、…、pm不要直接相加减, p1、p2、…、pm它是表示勾股函的关系变量.)
参考文献
[1]   陈景润,《初等数论》（III）第十四章数表正整数为平方和及华林问题介绍.
[2]   《数学手册》编写组, 《数学手册》第一章初等函数及其数值计算39页. 北京:人民教育出版社,1979年12月.

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作者简介: 作者姓名:陈文龙  出生年月:x    性别:男  民族:汉族
籍贯:广东省潮州市  Email:CWL1959@126.COM