从定积分应用题的一个错误计算到定积分定义的改革

jzkyllcjl

1978年有一位老师使用解定积分应用问题时，“分割、取近似值”的步骤，计算球面面积时，得到一个错误。为此1985年，我写出了界定积分应用问题的严格放方法。现在把定积分的定义改写如下。
定义12： 函数f(x)的连续性理想原函数S（x）在任意闭区间[a,b]上的增量S（b）- S（a）叫做f(x)在闭区间[a,b]上的定积分。
  定理2（原函数的存在定理的新证法），设函数 在[a,b]区间上连续且恒大于0，则对这个区间上任意实数x，从x=a 到x=x 的小曲边梯形面积也是一个现实数量，这个现实数量是x的一个现实数量函数，记这个函数为S（x），根据导数的极限计算法则、以及连续函数在任意闭区间上存在最大值最小值的定理的性质，可以得到S（x）的导函数就是： 。于是S（x）就是  的一个原函数。且所求的大曲边梯形的面积就是这个原函数在[a,b]区间上的增量S（b）-S（a）。上述讨论可以推广到函数 在[a,b]区间上连续的非大于0的情形。于是得到如下原函数存在定理：若函数 在[a,b]区间上连续且只有有限多个零点，则原函数存在。这个定理的证明，不仅不需要使用烦琐的黎曼和的许多研究，而且給出了原函数的现实数量性质的意义。

elim

为什么你的定义是严格的？你连所论面积的存在唯一性都不能确立．只会吃狗屎．

jzkyllcjl

elim 发表于 2023-6-6 12:44
为什么你的定义是严格的？你连所论面积的存在唯一性都不能确立．只会吃狗屎．

你胡扯！我没有反对面积的存在唯一性，但需要指出这是个理想性问题。

elim

jzkyllcjl 发表于 2023-6-8 01:38
你胡扯！我没有面积的存在唯一性，但需要指出这是个理想性问题。

你没有确立曲边梯形的面积概念及其它的存在唯一性，是一个无法抵赖的事实。

jzkyllcjl

elim 发表于 2023-6-8 13:32
你没有确立曲边梯形的面积概念及其它的存在唯一性，是一个无法抵赖的事实。

你胡扯！我没有反对面积的存在唯一性，但需要指出这是个理想性问题。

elim

你没有确立曲边梯形的面积概念及其它的存在唯一性，是一个无法抵赖的事实。

jzkyllcjl

elim 发表于 2023-6-9 03:19
你没有确立曲边梯形的面积概念及其它的存在唯一性，是一个无法抵赖的事实。

第一，与线段长度一样，曲边梯形面积是现实数量，不需要使用黎曼定积分去定义它。。
第二，对定义2，补充说明下面三点说明。
说明1：关于笔者这个定义中的“不可构造完毕的想象性质”是有人反对的，他们认为：这个性质不成立，但笔者认为“这个性质是无穷集合元素个数可以无限增多的必然结果，因为无限增多是永远无法完成的做作，所以必然有无穷集合不能构造完毕的性质”；进一步还应当知道：元素无限多的无限延续的操作需要有无限的时间与无限的空间，因此在任何有限时间与空间内不可被完成，对此有人反对说“数学理论不需要时间、空间”，但事实上，数学理论中无穷级数的的无限次加法、无限多次判断的无穷次操作都需要有无穷多实践与空间。有人认为：“在笔者这个定义之下，无穷集合只有有限个元素”，对此笔者认为：“无限与有限之间具有相互对立、相互依存的对立统一的关系”，自然数集合中有限自然数可以无限增多，可以趋向于无穷多，但不能达到无穷多。
说明2：与《非标准分析》不同，自然数集合中没有《非标准分析》的无限大自然数，但不缺少任何有限自然数。
说明3：下文第四节讨论有理数集合、实数集合的构造过程及其元素编号时，还需要提出自然数集合其它构造过程；下文第六节提出了奇数集合、偶数集合、素数集合都是无穷集合。所有无穷集合都具有可数而又数不到底，都不是元素个数为自然数真正可数集合。

elim

泛泛的现实数量定规了面积？难怪你活着就被弃了．