介绍一种新的几何学-汇心几何学

denglongshan

参考数学中的直观、定义与表达http://www.mathchina.com/bbs/for ... ead&tid=2049273


在数学教程中如何给出定义，经常是值得研究的。好的定义应当揭示概念的本质，是“what”层面的，而不是“how”层面的。
还值得指出，一般不能说定义的对错（Yuri Zarhin 曾无奈地说: “Well，every definition is correct”），只能说定义的优劣。一个好的定义能够揭示客观存在或自然规律，启迪思维，引导有意义的研究方向。在极端的情形，甚至一个好的定义就解决了问题。遗憾的是很多定义有缺陷。有的教科书将直观当作定义，毫无科学严谨性可言，有些还颇为费解，
\(\frac{BA}{BC}=\lambda，e^{iB}=v{,}定义\frac{\overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BC}}=\lambda v，\lambda 和v分别称为长度商和方向商\)，这就是向量商的概念，可以证明很多几何定理。

实例 证明内角平分线定理

\(假设\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}\overline{v },其中v=e^{i\alpha}\)
\(     \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}r2\overline{v}{,}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}r1v\),可得\(\frac{\overrightarrow{DC}}{\overrightarrow{DB}}=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}}{\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}}=\frac{r1v\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}}{r2v\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AD}}=\frac{r1v-1}{r2v-1}=\frac{r1\overline{v}-1}{r2\overline{v}-1}=\frac{r1\left( v-\overline{v}\right)}{r2\left( v-\overline{v}\right)}=\frac{r1}{r2}=-\frac{AC}{AB}\)

老师得方法如何做？

宇宙无理数

denglongshan 发表于 2021-12-23 19:58
参考数学中的直观、定义与表达http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2049273

内角平分线定理在许多资料上都有证明, 由于我最近关注的是汇心几何学, 给你提供汇心几何学中的证明, 见5.2节. 其他资料的证明我需要时间查询.

宇宙无理数

數海泛舟 发表于 2021-12-22 14:27
好，收藏學習

哈, 繁体中文. 你是港澳台朋友?

宇宙无理数

denglongshan 发表于 2021-12-23 19:58
参考数学中的直观、定义与表达http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=2049273

看来你很执着, 在签字里面都在谈论向量商.

宇宙无理数

各位数学达人, 新年吉祥!

ccmmjj126

是南邮的张教授吗？搞计算机的怎么有兴趣研究起几何来了？

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2021-12-29 17:17
看来你很执着, 在签字里面都在谈论向量商.

追求科学真理应该执着. 但是也请你考虑一个问题: 向量已经有几百年的历史了, 如果能定义除法, 早就有人给出定义了, 数学家们不会把他留到今天吧?

宇宙无理数

宇宙无理数 发表于 2021-12-29 17:17
看来你很执着, 在签字里面都在谈论向量商.

其实我也很执着, 这一点我们有些相像. 你这么多年追求向量商究竟想达到什么目标? 你希望定义的向量商究竟是针对点积还是针对叉积? 对平面向量而言, 两个向量的点积和叉积都不满足运算的封闭性,

denglongshan

谢谢老师关注，希望得到学术界的一致公认，期待早日进入课本。既不是针对点积还是针对叉积，而是这概念利用复数可以很好描述平面向量之间的关系，并用来解决平面几何问题。更一般地，传统几何能否用向量表达，并且获得更优美的结论？
S．T．Sanders在《OnMathematical Certainty．National MathematicsMagazine．1941》．中指出：假设的方法就是在不知道某判断是否正确的时候 ，先认为它是正确的，以此为前提 (条件)进行推理 ，看一看推理的结果是否正确 ，如果正确．说明这个判断是真的，如果推理的结论不正确 ，说明这个判断是假的。

向量商可以很好地解释复数运算的一些结果，在科学院李教授说是可以的，本论坛Cresson、elim和天山草等老师认可，当然陆老师不认可。
李涛博士导师是张景中院士，他应用向量商却不定义，这不合理，图片选自李涛博士论文。
您考虑过向量与复数的乘积表示什么吗？
这篇文章的观点很赞成向量的除法-复数，https://blog.csdn.net/u010141928/article/details/82596876
以前你说过一般不存在，难道说在什么特殊情况可以定义？

denglongshan

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