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马克思在写了1/3=3/10+3/100+ ……的等式之后,立即根据无穷次相加无法进行,无穷级数是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义,说道:1/3成为它的无穷级数的极限。这个论述与恩格斯在《反杜林论》第一编“五、自然哲学、时间和空间”一节的,48页讲到:“杜林先生,永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾,而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的,这已经是矛盾,可是事情就是这样”[2]是一致的。这说明:无尽小数0.333……与无穷级数的无穷都是恩格斯说的“无限纯粹是由有限组成的,这已经是矛盾,可是事情就是这样”的说法是正确的,也说明马克思的“极限值具有达不到的趋向性”说法是正确的。因此,应当提出:“无尽循环小数0.333……是以1/3为趋向性极限的有限位十进小数为项的康托尔基本数列0.3,0.33,0.333,……的简写”。
康托尔 使用对角线方法,证明闭区间[0,1]表示的理想实数集合也是不可数、不可列的集合的证明无效,因为:它的证明中使用了“无尽小数表示实数的错误做法,它的证明中使用的 对角线上元素是不是等于5的判断是进行不到底的、不可判断问题,反证法不能用”。常实数+∞的想象性非正常集合。康托尔无穷集合理论造成了 违背 欧几里德“公理8. 全体大于部分”的“有理数集合与其真子集(自然数集合)元素个数相等的悖论。
康托尔实数定义中说的是“无穷数列0.3,0.33,0.333,……是1/3的一个代表”;维尔斯特拉斯说的是“无尽小数等于实数,其中无尽小数0.333……等于1/3”。这种对待无尽即对待无穷的观点违背了“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”;π、√2等的其它无尽小数表达式也有如此的错误。这种错误导致了无法解决的布劳威尔提出的的三分律反例。 |
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