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近代数学理论可以说是使用了康托尔“数学必须肯定实无穷，无穷集合是完成了的整体”的观点的数学理论。但这个观点违背了“无穷是无有穷尽无有终了的事实”。希尔伯特使用康托尔公理写了《几何基础》，但希尔伯特1900年提出的第一第二问题，至今无法解决。
定义4：元素个数为有限理想自然数的正常集合叫做有穷自然数集合；若以有穷自然数集合为项的无穷序列的元素个数序列的趋向性集合。为包含所有自然数的元素个数为广义极限为非正常实数+∞的想象性自然数集合，则称：这样的元素个数为非正常实数+∞的含有所有自然数的，不可构造完毕的想象性质的理想性无穷性质的自然数集合；且称它为非正常集合。
不可完成是无穷集合的必要性质，完成了的集合就不是无穷集合。所有无穷集合都是元素个数为广义极限为非正常实数+∞的想象性非正常集合。康托尔无穷集合理论造成了 违背 欧几里德“公理8. 全体大于部分”的“有理数集合与其真子集（自然数集合）元素个数相等的悖论。康托尔 使用对角线方法，证明闭区间[0,1]表示的理想实数集合也是不可数、不可列的集合的证明无效，因为：它的证明中使用了“无尽小数表示实数的错误做法，它的证明中使用的 对角线上元素是不是等于5的判断是进行不到底的、不可判断问题，反证法不能用”。
康托尔实数定义中说的是“无穷数列0.3,0.33,0.333,……是1/3的一个代表”；维尔斯特拉斯说的是“无尽小数等于实数，其中无尽小数0.333……等于1/3”。这种对待无尽即对待无穷的观点违背了“无穷是无有穷尽、无有终了的事实”无尽小数0.3333……不是定数，不能等于1/3；π、√2等的其它无尽小数表达式也有如此的错误。这种错误导致了无法解决的布劳威尔提出的的三分律反例。
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发表于 2022-1-1 07:43