一论华罗庚的《从杨辉三角谈起》 ——完全是文不对题 倪则均，2015年1月30日。

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1，        连得数学老师也未必都能看懂的学生课外读物！
上个世纪六十年代，华罗庚曾为中国数学会所创办的数学竞赛，特意给中学生们写了几本小册子，作为他们的课外读物，《从杨辉三角谈起》和《从祖冲之的圆周率谈起》就是其中的两本。七十年代初，北京市数学会出版了一套“数学小丛书”，华罗庚的这两本小册子，分别被选为了这套“数学小丛书”的第一册和第三册。
华罗庚为什么要写这两本小册子？我认为应该是由于此时已经是反右运动前夕，华罗庚或许已经感受到了十分巨大的政治压力，于是他要装出一副非常关心青年学子的姿态，想要写出一点崇扬我国古代数学的东西。然而，他只是在清华大学旁听了二年高等数学，以后又在哈代那里学了几年“概念造型”艺术，对于博大精深的我国古代数学，根本没有作过什么深入系统的研究。
我国古代数学里的许多非常简洁明了的算理算法，反而被华罗庚搅得极其晦涩复杂，有些东西华罗庚完全是在不懂装懂，他不知道杨辉的“垛积术”，与沈括的“隙积术”到底有何区别，更不知道沈括的酒坛堆计数公式，只能运用刘徽的“出入相补术”得到，不能运用后来的杨辉的“垛积术”去得到。尽管沈括在他的《梦溪笔谈》里，已经说：“刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也”，然而，华罗庚似乎根本没有理解这句话的意思。
顾名思义，《从杨辉三角谈起》应该是介绍一些，我国宋元时期的数学成就，因为宋元时期的数学是我们中国数学的第三个巅峰时期，遥遥领先于当时的世界各国。然而《从杨辉三角谈起》的最后一节，却讲的是无理数的逼近，似乎是扯得太远了，大概这就是华罗庚从哈代那里所学的“概念造型”艺术。全体自然数二次方的倒数之和，欧拉已经运用十分简洁的方法，推导出其和为π2/6，华罗庚根本没有必要也搞出一个极其繁琐复杂的无理数的逼近，其实，我已经发现在无限情况下，由于三角形的三个内角之和不再是一百八十度，三角函数似乎已经不再适用，因此欧拉所得到的其和为π2/6，可能也是有问题的。
在华罗庚的《从杨辉三角谈起》里，甚至还出现了推导过程和结果的错误，这种情况不管是对于中学生，还是他们的老师，都是万万不会想到的，他们决不会怀疑我们的数学大师，竟然也会出现这种低级错误。应该说象我这样总是怀疑，大家公认的数学大师可能也会出错，他们的所谓经典也会有问题的人是不多的，绝大多数的人，都只能是为看不懂他们的东西而苦恼。
2，        只有杨辉垛积，何来杨辉三角？
有人说杨辉的“垛积术”，是沈括“隙积术”的发展，其实，杨辉的“垛积术”与沈括的“隙积术”，完全是性质根本不同的两码事。杨辉应该是为了验证沈括的酒坛堆计数公式，才是开创了他的“垛积术”。杨辉之所以能开创他的“垛积术”，则是由于他对于我国古老的‘开方作法本源’，作了深入的研究，发现了其中许多极其重要的规律。
华罗庚在这本小册子的序言——“写在前面”中，首先介绍了他所谓的“杨辉三角”的来历，他说：“这本小册子的内封上所载的图形，称为‘杨辉三角’。杨辉三角并不是杨辉发明的，原来的名字也不是‘三角’，而是‘开方作法本源’；后来也有人称为‘乘方求廉图’。这些名称实在太古奥了些，所以我们简称之为‘三角’。
杨辉是我国宋朝时候的数学家，他在公元1261年著了一本叫做《详解九章算法》的书，里面画了这样一张图，并且说这个方法是出于《释锁算书》，贾宪曾经用过它。但《释锁算书》早已失传，这书刊行的年代无从查考，是不是贾宪所著也不可知，更不知道在贾宪以前是否已经有这个方法。然而有一点是可以肯定的，这一图形的发现在我国当不迟于1200年左右。”华罗庚的这番话，让我觉得十分奇怪，难道华罗庚不知道，我国古代的解方程，来自于《周易》的卦符变化规律，称为“开方术”。因此所谓的“杨辉三角”，应该称为“易卦三角”才对。
我国南宋时候的秦九韶（1202—1261），根据“易卦三角”所推导出的，对于高次代数方程的数值解法，比意大利的鲁菲尼（1765—1822），和英国霍纳（1786—1837）的“鲁菲—霍纳法”，更为井然有序，至今仍然还是最为高明的解法。由此“秦九韶法”所编制出的程序，通过电子计算机计算，也是最为快捷、安全、稳定、可靠。
华罗庚接着又说：“在欧洲，这图形称为‘巴斯加三角’。因为一般都认为这是巴斯加在1654年发明的。其实在巴斯加之前已有许多人论及过，最早的是德国人阿批纳斯，他曾经把这个图形刻在1527年著的一本算术书的封面上。可是无论怎样，杨辉三角的发现，在我国比在欧洲至少要早300年光景。”其实，欧洲的“巴斯加三角”，完全是从我国传过去的。
华罗庚在他的“写在前面”最后指出：“我必须在此感谢潘一民同志，本书的绝大部分是他根据我的非常简略的提纲写出的。”这本小册子的作者，既然署名为华罗庚，那么由此所得到的名利，就应该全都归属于华罗庚，当然，其中的错误和问题，也必须全都要有华罗庚去承担。
3，看不到杨辉时代的群星闪耀。
杨辉的时代，是一个数学人才辈出，名家云集的时代。其中的代表人物是“宋元四大家”：杨辉、秦九韶、李冶和朱世杰，此外还有贾宪、刘益、沈括、王恂和郭守敬等名家。同时涌现了大量的数学著作，据不完全统计，仅两宋约300年间，部分书目有95种，其中著名的数学著作就有54种之多。值得注意的是，在“宋元四大家”之中，只有秦九韶不是民办的算学馆的校长，但是他一直谋求能调任为国子监的数学教授。
我国宋元时期的数学，是博大精深的中国数学的第三个巅峰时期，那时我们的古代数学，已经遥遥领先于当时的世界各国，这个数学宝库里的瑰宝，至今仍然值得大家去深入挖掘。那么，为什么我们的中国数学的大树，到了宋元时期，后获得如此丰硕的成果？要回答这个问题，我们就得从头说起。
根据《礼记》记载，我国周代运用礼、乐、射、御、书、数六艺，对于他们的贵族子弟予以教育，希图以此能够培养出德才兼备的接班人，显然，数学也是作为合格接班人的一项重要内容。到了隋唐时期，我国在生产、科技、文化各个方面，都获得了空前的大发展，因此，从隋朝开始，一方面设置了国家级最高学府——国子监，扩大了培养人才的范围，一方面又创建了科举制度，开辟了直接从民间吸收人才的新途径。
据说唐代官吏上朝要带算筹，在朝议事时常用算筹当场决事。唐初的李淳风按照唐高宗李世民的诏令，对我国古代的算经全部重作注释，使之作为国子监明算科的标准教课书。唐代还进一步明确规定，不管何人只要数学考试合格，即可入朝为官。这样的举措，当然激发了民间数学的蓬勃展开，民办的算学馆应该就是由此而兴起的。其实这些民办的算学馆的校长，都是各个数学领域里的领军人物，他们往往具有比国子监教授更高的水平。
唐朝的如此决策，无疑是将数学的种子直接播种于民间，让数学的大树直接从民间获得取之不竭的营养。到了宋元时期，我国在生产、科技、文化各个方面，又有了更大的发展。我国古代的四大发明中的三项——火药、指南针和活字印刷术均产生于这一时期。尤其是印刷术的普遍使用，为中国数学的发展、保存和传播注入了无限的活力，从而使得我国的传统数学，又到达了一个更加光辉灿烂的新高度。
公元960年赵匡胤陈桥兵变，建立了宋朝（后来称为北宋），再次统一了全国。1126年靖康之难以后，北方被契丹占领，建立了金朝，赵构逃到江南后称为南宋，由此我国进入了长达一个半世纪的南北对峙。那时我国北方数学的代表人物是李冶，他不仅将北方传统的“天元术”，发展成了“半符号代数”，他还首创了运用代数方法，去解决几何问题的新路子。那时我国南方数学的代表人物当然是杨辉，但是秦九韶的“大衍求一术”和一元高次方程的数值解法也有独到之处。元初时期的朱世杰，则将当时南北两派的数学完全融合为一体，更是取得了许多独步天下的卓越成就。