“偶素数幂环的特性规律”的被退，还是对于群论认识的分歧。

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“偶素数幂环的特性规律”，我是在2012年4月18日递送给“火花”的，4月23日按照“火花”的退改意见作了修改，算作是我的第25篇文章。2012年8月7日，收到了“火花”的退稿意见，然而，在“火花”的用户投稿列表里，却找不到这个退稿。“火花”对于“偶素数幂环的特性规律”的退稿意见是：
“经专家审阅，认为： 文中“偶素数幂环”这个提法不好（而且完全没有必要，因为该文没有用到环论的思想和方法）。偶素数幂环是整数环的一个商环（整数环模2w），其中每个元素不再是一个整数，而是模2w的一个剩余类（或曰陪集），但作者仍然只是把它作为整数来进行处理。再者，文中还讨论其欧拉子群，如果把子群的元素也都理解为剩余类的话，那就不符合欧拉函数的定义。这一评论也适用于作者在其他文章中所提的“合数环”（例如“通过剩余方阵认识商群”，“一个真正的素数公式”，“因子数集合与因子函数”，“合数环里的子群的问题”等）。本文没有什么新鲜的内容。您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
显然，这个退稿意见应该说是从反面比较透彻地说明了，我与审稿专家之间对于群论认识的严重分歧。其实，我在2005年运用了我的商群的概念，证明了自然数里的费马素数只有五个的问题，此文我曾请南京大学的佟教授看过。此时我已经意识到，原本的群论对于子群、循环群、陪集、不变子群、商群乃至划分的认识，全都存在着极其严重的问题，难怪晚年的拉格朗日会说，这个矿脉已经枯竭，应该予以废弃了。
审稿专家所说的整数环根本就不成立，这是他们拍拍脑袋凭空所想出来的东西，其实至今大家对于无限的认识仍然极其浅薄。我早就说过商环的概念也是不存在的，在自然数里只有商群，绝对没有商环，而且商群只能存在于循环群里，也就是说，商群只能存在于素数域的欧拉子群里——素数群，以及奇素数幂环的欧拉子群里。由此可见，我与审稿专家对于群论认识的严重分歧，主要反映在我是以客观存在作为依据的，而审稿专家则是以西方拍拍脑袋的经典作为依据的。倪则均，2015年1月19日。

偶素数幂环的特性规律
倪则均
一，偶素数幂环里的因子数
素数幂环是一种极为特殊的合数环，具有许多十分奇妙的特性规律。素数幂环一般可以分为H2w偶素数幂环，和Hpw奇素数幂环二个大类。由于所有的奇素数都可以通过分解2w-1形数得到，因此H2w偶素数幂环显得格外重要。在整个自然数里，由于偶素数2只有唯一的一个，从而使得H2w偶素数幂环具有许多与众不同的特性。
如果说Hpw奇素数幂环里的情况，似乎显得有些复杂，但是我们却可以通过Hp奇素数域去认识它们。然而，尽管H2w偶素数幂环里的情况显得比较单纯，我们却无法通过H2偶素数域去认识它们，因为在H2偶素数域里，只有二个平凡因子数，实在太简单了，不能提供什么有价值的信息。
我们说H2w偶素数幂环里的情况比较单纯，构造上的单纯仅仅是其一个方面，更主要的是指其元素性质上的单纯。尤其是其Φ2w欧拉子群里的每一个元素，我们极易判别出它们的周期，从而知道这个元素的性质。下面我们仍然先从其因子数集合着手展开对于H2w偶素数幂环的研究。
H2w偶素数幂环里的因子数集合为D2w={20，21，22，…，2w}，只有w+1种不同的阶，所以全体因子数的数量为d（2w）=w+1。由于全体因子数之和为σ（2w）=2w+1-1，从而使得2w偶素数幂是一种殆完全数。
如果σ（m）=2m，则称m为完全数。若是σ（m）=2m-1，则定义m为殆完全数，以后我们将证明2w偶素数幂是唯一的一种殆完全数。正是由于这种唯一性，造成了全体偶完全数，与全体梅森素数之间的一一对应关系。也正是由于这种唯一性，使我们找到了证明奇完全数不存在的方法，让我们终于可以彻底解决这个困扰了人们上千年的难题。
二，偶素数幂环的子环子群
D2w集合里的因子数2k（k≤w），与H2w偶素数幂环全体元素的积集 2kH2w，为H2w偶素数幂环里，所有含有因子数2k的元素集合，构成一个k阶子环。因此D2w集合里的w+1个因子数，与H2w偶素数幂环全体元素的积集，形成w+1个环环相套的子环链，每一个高阶子环都是其各个低阶子环的真子环，即有20H2w 21H2w … 2wH2w。
由于0阶子环20H2w里的元素数量为2w/20=2w，1阶子环21H2w里的元素数量为2w/21=2w-1，…，w阶子环2wH2w里的元素数量为2w/2w=1，所以全体子环的元素总量，正好就是全体因子数之和：20+21+22+…+2w=2w+1-1。若从0阶子环20H2w里减去1阶子环21H2w，所得到的差集即为其欧拉子群Φ2w，即有Φ2w=20H2w-21H2w。
由于1阶子环21H2w里的元素，是H2w偶素数幂环里的全体偶数，所以其欧拉子群Φ2w里的元素，是H2w偶素数幂环里的全体奇数。因子数2k与欧拉子群Φ2w的积集2kΦ2w，为H2w偶素数幂环里，仅仅含有因子数2k的元素集合，构成一个k阶子群。因此，全体子群之间的两两之交为空集。其实，2kΦ2w子群也可以从k阶子环2kH2w减去k+1阶子环2k+1H2w得到，即有2kΦ2w=2kH2w-2k+1H2w。所以，全体子群之间的并为
20Φ2w∪21Φ2w∪…∪2wΦ2w=H2w
三，欧拉子群的奇特规律
H2w素数幂环里的Φ2w欧拉子群，具有许多奇特规律，首先是其中的元素是一个连续奇数，是一个公差为2的等差数列。其元素的数量始终恒为H2w素数幂环里的全体元素之半。欧拉数的数量密度为1/2，是所有Hpw素数幂环里的最低的极限密度。其它所有Hpw素数幂环里的欧拉数的密度都是变量，只有H2w素数幂环里的欧拉数的密度是一个常量。
当w≥3时，3和5始终是Φ2w欧拉子群里的最大周期元素，它们的周期始终为2w-2。这个最大周期数2w-2，与全体欧拉数的数量2w-1之比也始终为1/2。这个比率是Hm基本合数环，及其HM扩张环里的最高极限比率。这个比率在这些合数环里是变量，只有在Φ2w欧拉子群里它才是一个常量。因此当w＞2时，所有的Φ2w欧拉子群都不是循环群，只有w≤2时的二个Φ2w欧拉子群才是循环群。
上面用粗体所突出的二段内容，实际上是给出了关于Φ2w欧拉子群的二条定理，对于这二条定理，可以运用下面的一个公式予以统一证明。Φ2w欧拉子群的每一个元素a，都可以统一表示为a=2rk±1形式，其中2≤r≤w，k为可用奇数。若令j=2w-r，则有
aj=（2rk±1）j=JC0（2rk）J±JC1（2rk）J-1+…±JCJ-1（2rk）+ JCJ
≡1（mod 2w）
由此证明，如果a是一个2rk±1形数，那么它的周期必定为2w-r。显然，当w=1时，Φ2w欧拉子群变成了只有一个元素1的循环群。当w=2时，由于3的周期为2，Φ22欧拉子群里的元素也是二个，所以Φ22欧拉子群是一个循环群。
当w≥3时，3和5始终是Φ2w欧拉子群里的最大周期元素，它们的周期始终为2w-2，由于w越大可用奇数k就越多，因此最大周期元素也会随之增多。由于Φ2w欧拉子群，始终都有2w-1个元素，所以此时的Φ2w欧拉子群，全都不是循环群。这种不是循环群的Φ2w欧拉子群，还有一个重要特性是，其中周期为2的元素，始终都是三个，它们是2w-1±1和2w-1。
上面这个公式，不仅可以迅速计算出，Φ2w欧拉子群里所有奇数元素的周期，而且它也给出了这些奇数幂，与2的幂之间的相互转换关系。尤其是全体奇素数幂，与唯一一个偶素数2的幂之间的相互转换关系。由此或许可以探索出许多十分重要的数学规律，解决许多的实际问题。
我们以前在研究费马数时，对于它的性质突变曾经感到实在无法予以解释，现在发现这个问题应该可以Φ2w欧拉子群解释清楚，当然费马数的性质突变，与上述Φ2w欧拉子群的性质突变，是没有什么直接关系的。以后我们在研究Φpw欧拉子群时，大家将会看到在三元齐次不定方程xn+yn=zn里，它的解同样会出现这种突变现象。这种性质的突变现象，不仅存在于整数系统，在实数系统里也是同样存在。连续统里的周期突变，简直就是一场大爆炸。2012年4月18日。