“修改功能强大的同余式组”是射向旧理论的一发炮弹。

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“修改功能强大的同余式组”，是我递送给“火花”算作为第十九篇的文章。此前的“功能强大的同余式组”，由于其中的表格在递送后不能显示，因此作了修改，忍痛拿掉了表格，增加了理解的困难。“火花”的退稿意见是：“如果m是一个合数，那么全体整数m后，构成一个环。这就是作者所说的合数环。环论已经成为数学中的一个分支，在本文中只是讨论m这个数本身，并没有运用环的理论和方法，也没有用到环论的已有结果，与环论其实没有关系，不必使用“合数环”这个概念。本文主要讨论同余式组，为了强调同余式组的作用，文中说：“我们已经运用它破解了哥德巴赫猜想，攻克了这个所谓最困难的问题。”对这样严肃的问题，引用未得到学术界承认的论断，是不妥的。经过审阅，我们认为您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
前面我已经运用铁的事实证明，《群论》是一个充满缺陷的理论，它是没有通过实践验证的唯心主义的东西。按照国际数学的划分，《群论》是一个分支，环论不是一个分支，它只是属于《群论》而已。我已经说过我不打算将整个《群论》全部废弃，我想吸收其中一些正确的概念，建立起一套崭新的理论体系。看来审稿专家，根本就无法理解我的苦衷，因为在他们的心里，已经充满了那些陈旧的老教条，再也不能接收任何新观念了。
西方数学已经出现过三次十分重大的危机，第一次是无理数的出现，造成了古希腊数学的一片惊慌。第二次是对于微积分基础的争议，这是传统与变革的思想冲突，是的，最初的微积分由于十分庞杂，显得有些混乱。第三次是集合论的创立，遭到了许多人的猛烈攻击，今天仍有许多人不能理解不可数数的客观存在。其实，对于国际数学来说，现在已经出现了第四次的危机，那么多的悬而未决的问题，正是这第四次危机的标志。当然，这第四次危机的斗争，一定会更为惨烈，对此我已经作好了充分的准备。倪则均，2015年1月13日。
功能强大的同余式组
倪则均
一，合数与合数环的分门别类
合数与合数环的分门别类，可以完全按照素数与素数域的方法，根据它们的2的周期予以分层设阶。这样的分门别类尽管可以解决大数的分解难题，但是却不能以此作为研究合数环的工具，找出其内部的种种特性规律。我们在研究素数群的结构规律时，运用了剩余方阵这个十分有力的工具，那么，现在我们要研究合数环的结构规律了，又该运用什么工具呢？
这个工具就是同余式组，前面我们已经运用它破解了哥德巴赫猜想，攻克了这个所谓最困难的问题。我们前面也已经指出，同余式组是一种对于自然数的“质”的表示，其中的缘由随后即予解释。其实，同余式组的功能极其强大，具有十分广泛的实际应用价值。如果说剩余方阵源自于费马小定理，属于洋为中用，那么剩余方阵则是货真价实的国产品牌。
在论述同余式组的强大实际应用功能之前，我们先得对全体合数环予以另一种分类。如果合数m=p1p2…pk为k个非幂素因子的积，我们称Hm合数环为基本合数环，若是这k个非幂素因子为从2开始的连续素数，则称之为规则合数环表示为Hpk#，若是这k个素因子之中至少有一个是幂因子，那么称其为Hm基本合数环的横向扩张环，表示为HM。
对于任何一个Hm基本合数环来说，它们的横向扩张环都有无限之多。我们完全没有必要对这些无限之多的横向扩张环，花工夫去一一研究它们，因为它们全部都是大同小异的，都是以Hm基本合数环的全体元素，作为一个基本单元，所作的若干次循环，仅仅是它们的循环次数有所不同而已。当然，既然有横向扩张，就一定也会有纵向扩张，所谓纵向扩张是指不同素因子的商量的增加。
由于所有的合数环都是积性函数，因此，我们可以从只有二个素因子的基本合数环着手展开研究，然后不断逐级纵向扩张深入，这是一种由小到大，由浅入深，由简单到复杂的认识方法。反过来，对于一个十分庞大的合数环来说，我们都可以通过分解的方法，将它由大变小，采用化整为另的办法去各个击破。其实不管是分还是合，全都依赖着同余式组的纽带作用。
二，对于自然数的“质”的表示
对于Hm（m=p1p2…pk）合数环来说，它的全体元素为k个素数域Hpi（i=1，2，…，k）的笛卡尔积，其中的元素a属于“量”的表示。然而，如果将这k个素数域里的全体元素，分别作为同余式组〈a1，a2，…ak〉（mod m）里的k个分量，那么，这就是对于Hm合数环全体元素的“质”的表示。显然，运用“量”所表示的元素a，与运用“质”所表示同余式组〈a1，a2，…ak〉（mod m）之间，完全是一种一一等同的关系，即有
a=〈a1，a2，…ak〉（mod m）
我们凭什么说m个同余式组〈a1，a2，…ak〉（mod m），是对Hm合数环全体元素的一种“质”的表示？因为我们只要根据同余式组，即可判定它所等同的那个元素的性质。为此，我们不妨通过以下一个实例来予以具体说明。下表就是根据孙武所给出的举世第一个合数环H3×5×7，所写出的其元素的“量”的表示，与“质”的表示之间的一一等同关系。由于在下表之中不含0分量的同余式组，共有2×4×6=48个，因此不仅可以知道其中的欧拉数的数量为48个，即欧拉函数φ（3×5×7）=2×4×6=48，而且还可以具体查出这些欧拉数，到底会是一些什么数。
〈1，1，1〉≡1        〈2，2，2〉≡2        〈0，3，3〉≡3        〈1，4，4〉≡4        〈2，0，5〉≡5
〈0，1，6〉≡6        〈1，2，0〉≡7        〈2，3，1〉≡8        〈0，4，2〉≡9        〈1，0，3〉≡10
〈2，1，4〉≡11        〈0，2，5〉≡12        〈1，3，6〉≡13        〈2，4，0〉≡14        〈0，0，1〉≡15
〈1，1，2〉≡16        〈2，2，3〉≡17        〈0，3，4〉≡18        〈1，4，5〉≡19        〈2，0，6〉≡20
〈0，1，0〉≡21        〈1，2，1〉≡22        〈2，3，2〉≡23        〈0，4，3〉≡24        〈1，0，4〉≡25
〈2，1，5〉≡26        〈0，2，6〉≡27        〈1，3，0〉≡28        〈2，4，1〉≡29        〈0，0，2〉≡30
〈1，1，3〉≡31        〈2，2，4〉≡32        〈0，3，5〉≡33        〈1，4，6〉≡34        〈2，0，0〉≡35
〈0，1，1〉≡36        〈1，2，2〉≡37        〈2，3，3〉≡38        〈0，4，4〉≡39        〈1，0，5〉≡40
〈2，1，6〉≡41        〈0，2，0〉≡42        〈1，3，1〉≡43        〈2，4，2〉≡44        〈0，0，3〉≡45
〈1，1，4〉≡46        〈2，2，5〉≡47        〈0，3，6〉≡48        〈1，4，0〉≡49        〈2，0，1〉≡50
〈0，1，2〉≡51        〈1，2，3〉≡52        〈2，3，4〉≡53        〈0，4，5〉≡54        〈1，0，6〉≡55
〈2，1，0〉≡56        〈0，2，1〉≡57        〈1，3，2〉≡58        〈2，4，3〉≡59        〈0，0，4〉≡60
〈1，1，5〉≡61        〈2，2，6〉≡62        〈0，3，0〉≡63        〈1，4，1〉≡64        〈2，0，2〉≡65
〈0，1，3〉≡66        〈1，2，4〉≡67        〈2，3，5〉≡68        〈0，4，6〉≡69        〈1，0，0〉≡70
〈2，1，1〉≡71        〈0，2，2〉≡72        〈1，3，3〉≡73        〈2，4，4〉≡74        〈0，0，5〉≡75
〈1，1，6〉≡76        〈2，2，0〉≡77        〈0，3，1〉≡78        〈1，4，2〉≡79        〈2，0，3〉≡80
〈0，1，4〉≡81        〈1，2，5〉≡82        〈2，3，6〉≡83        〈0，4，0〉≡84        〈1，0，1〉≡85
〈2，1，2〉≡86        〈0，2，3〉≡87        〈1，3，4〉≡88        〈2，4，5〉≡89        〈0，0，6〉≡90
〈1，1，0〉≡91        〈2，2，1〉≡92        〈0，3，2〉≡93        〈1，4，3〉≡94        〈2，0，4〉≡95
〈0，1，5〉≡96        〈1，2，6〉≡97        〈2，3，0〉≡98        〈0，4，1〉≡99        〈1，0，2〉≡100
〈2，1，3〉≡101        〈0，2，4〉≡102        〈1，3，5〉≡103        〈2，4，6〉≡104        〈0，0，0〉≡105
显然，对于Hpk#规则合数环来说，如果它是全体素数的积，那么这个规则合数环，就可以看作是全体自然数集合。于是，我们同样只要根据它们的同余式组，即可判定它所等同的那个自然数的性质。
三，通过同余式组认识合数环
上述H3×5×7合数环有何特性规律，我们仍然通过上表的同余式组予以认识。由于在H3素数域里2的周期为2，在H5素数域里2的周期为4，在H7素数域里2的周期为3，因此在H3×5×7合数环里，其2=〈2，2，2〉的周期，为它们的最小公倍数[2，4，3]=12。并且我们还可以知道，2是这个合数环里的最大周期元素。
由于2是Φ3素数群的原根，2和3是Φ5素数群的原根，3和5是Φ7素数群的原根，因此由这些原根所构成的同余式组，它们所等同的元素必定周期最大：[2，4，6]=12。它们是〈2，2，3〉≡17、〈2，2，5〉≡47、〈2，3，3〉≡38、〈2，3，5〉≡68。由于2和4是Φ7素数群的亚根，即周期为3的元素，因此下面四个同余式组，所等同的元素的周期仍为最大。它们是〈2，2，2〉≡2、〈2，2，4〉≡32、〈2，3，2〉≡23、〈2，3，4〉≡53。
其实对于上面的八个同余式组来说，由于它们的第二分量与第三分量，其周期的最小公倍数已经是12，因此它们的第一分量，是不是原根已经没有什么关系了。所以，如果将上面的八个同余式组的第一分量由2改为1，得到的〈1，2，3〉≡52、〈1，2，5〉≡82、〈1，3，3〉≡73、〈1，3，5〉≡103；〈1，2，2〉≡37、〈1，2，4〉≡67、〈1，3，2〉≡58、〈1，3，4〉≡88，仍是周期最大元素。所以Φ3×5×7欧拉群里的48个元素，它们的1至12次方只能构成一个矩阵，不能成为方阵。
由于在上表之中，不含0分量的同余式组共有48个，仅第一分量为0的同余式组共有24个，仅第二分量为0的同余式组共有12个，仅第三分量为0的同余式组共有8个，仅第一、二分量为0的同余式组共有6个，仅第一、三分量为0的同余式组共有4个，仅第二、三分量为0的同余式组共有2个，三个分量全为0的同余式组只有1个，因此它们的总和为48+24+12+8+6+4+2+1=105，这就是高斯的欧拉函数之和。
总之，合数环的许多特性规律，我们只能通过同余式组去予以揭示，因为是同余式组从中承担了传递性质的关键纽带作用，这也是合数环可以分别各个击破的原因所在。当然有些特性规律，也可以运用其它的方法去予以认识，但是它们都不会这样简洁明了，由于篇幅的限制，仅举以上几例予以简要说明。

修改功能强大的同余式组
倪则均
一，合数与合数环的分门别类
合数与合数环的分门别类，可以完全按照素数与素数域的方法，根据它们的2的周期予以分层设阶。这样的分门别类尽管可以解决大数的分解难题，但是却不能以此作为研究合数环的工具，找出其内部的种种特性规律。我们在研究素数群的结构规律时，运用了剩余方阵这个十分有力的工具，那么，现在我们要研究合数环的结构规律了，又该运用什么工具呢？
这个工具就是同余式组，前面我们已经运用它破解了哥德巴赫猜想，攻克了这个所谓最困难的问题。我们前面也已经指出，同余式组是一种对于自然数的“质”的表示，其中的缘由随后即予解释。其实，同余式组的功能极其强大，具有十分广泛的实际应用价值。如果说剩余方阵源自于费马小定理，属于洋为中用，那么剩余方阵则是货真价实的国产品牌。
在论述同余式组的强大实际应用功能之前，我们先得对全体合数环予以另一种分类。如果合数m=p1p2…pk为k个非幂素因子的积，我们称Hm合数环为基本合数环，若是这k个非幂素因子为从2开始的连续素数，则称之为规则合数环表示为Hpk#，若是这k个素因子之中至少有一个是幂因子，那么称其为Hm基本合数环的横向扩张环，表示为HM。
对于任何一个Hm基本合数环来说，它们的横向扩张环都有无限之多。我们完全没有必要对这些无限之多的横向扩张环，花工夫去一一研究它们，因为它们全部都是大同小异的，都是以Hm基本合数环的全体元素，作为一个基本单元，所作的若干次循环，仅仅是它们的循环次数有所不同而已。当然，既然有横向扩张，就一定也会有纵向扩张，所谓纵向扩张是指不同素因子的商量的增加。
由于所有的合数环都是积性函数，因此，我们可以从只有二个素因子的基本合数环着手展开研究，然后不断逐级纵向扩张深入，这是一种由小到大，由浅入深，由简单到复杂的认识方法。反过来，对于一个十分庞大的合数环来说，我们都可以通过分解的方法，将它由大变小，采用化整为另的办法去各个击破。其实不管是分还是合，全都依赖着同余式组的纽带作用。
二，对于自然数的“质”的表示
对于Hm（m=p1p2…pk）合数环来说，它的全体元素为k个素数域Hpi（i=1，2，…，k）的笛卡尔积，其中的元素a属于“量”的表示。然而，如果将这k个素数域里的全体元素，分别作为同余式组〈a1，a2，…ak〉（mod m）里的k个分量，那么，这就是对于Hm合数环全体元素的“质”的表示。显然，运用“量”所表示的元素a，与运用“质”所表示同余式组〈a1，a2，…ak〉（mod m）之间，完全是一种一一等同的关系，即有
a=〈a1，a2，…ak〉（mod m）
我们凭什么说m个同余式组〈a1，a2，…ak〉（mod m），是对Hm合数环全体元素的一种“质”的表示？因为我们只要根据同余式组，即可判定它所等同的那个元素的性质。为此，我们不妨通过以下一个实例来予以具体说明。下表就是根据孙武所给出的举世第一个合数环H3×5×7，所写出的其元素的“量”的表示，与“质”的表示之间的一一等同关系。由于在下表之中不含0分量的同余式组，共有2×4×6=48个，因此不仅可以知道其中的欧拉数的数量为48个，即欧拉函数φ（3×5×7）=2×4×6=48，而且还可以具体查出这些欧拉数，到底会是一些什么数。
〈1，1，1〉≡1        〈2，2，2〉≡2        〈0，3，3〉≡3        〈1，4，4〉≡4        〈2，0，5〉≡5
〈0，1，6〉≡6        〈1，2，0〉≡7        〈2，3，1〉≡8        〈0，4，2〉≡9        〈1，0，3〉≡10
……
〈2，1，3〉≡101        〈0，2，4〉≡102        〈1，3，5〉≡103        〈2，4，6〉≡104        〈0，0，0〉≡105
显然，对于Hpk#规则合数环来说，如果它是全体素数的积，那么这个规则合数环，就可以看作是全体自然数集合。于是，我们同样只要根据它们的同余式组，即可判定它所等同的那个自然数的性质。
三，通过同余式组认识合数环
上述H3×5×7合数环有何特性规律，我们仍然通过上表的同余式组予以认识。由于在H3素数域里2的周期为2，在H5素数域里2的周期为4，在H7素数域里2的周期为3，因此在H3×5×7合数环里，其2=〈2，2，2〉的周期，为它们的最小公倍数[2，4，3]=12。并且我们还可以知道，2是这个合数环里的最大周期元素。
由于2是Φ3素数群的原根，2和3是Φ5素数群的原根，3和5是Φ7素数群的原根，因此由这些原根所构成的同余式组，它们所等同的元素必定周期最大：[2，4，6]=12。它们是〈2，2，3〉≡17、〈2，2，5〉≡47、〈2，3，3〉≡38、〈2，3，5〉≡68。由于2和4是Φ7素数群的亚根，即周期为3的元素，因此下面四个同余式组，所等同的元素的周期仍为最大。它们是〈2，2，2〉≡2、〈2，2，4〉≡32、〈2，3，2〉≡23、〈2，3，4〉≡53。
其实对于上面的八个同余式组来说，由于它们的第二分量与第三分量，其周期的最小公倍数已经是12，因此它们的第一分量，是不是原根已经没有什么关系了。所以，如果将上面的八个同余式组的第一分量由2改为1，得到的〈1，2，3〉≡52、〈1，2，5〉≡82、〈1，3，3〉≡73、〈1，3，5〉≡103；〈1，2，2〉≡37、〈1，2，4〉≡67、〈1，3，2〉≡58、〈1，3，4〉≡88，仍是周期最大元素。所以Φ3×5×7欧拉群里的48个元素，它们的1至12次方只能构成一个矩阵，不能成为方阵。
由于在上表之中，不含0分量的同余式组共有48个，仅第一分量为0的同余式组共有24个，仅第二分量为0的同余式组共有12个，仅第三分量为0的同余式组共有8个，仅第一、二分量为0的同余式组共有6个，仅第一、三分量为0的同余式组共有4个，仅第二、三分量为0的同余式组共有2个，三个分量全为0的同余式组只有1个，因此它们的总和为48+24+12+8+6+4+2+1=105，这就是高斯的欧拉函数之和。
总之，合数环的许多特性规律，我们只能通过同余式组去予以揭示，因为是同余式组从中承担了传递性质的关键纽带作用，这也是合数环可以分别各个击破的原因所在。当然有些特性规律，也可以运用其它的方法去予以认识，但是它们都不会这样简洁明了，由于篇幅的限制，仅举以上几例予以简要说明。