“梅森素数真的那么稀少吗？”的回复，完全是搪塞。

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“梅森素数真的那么稀少吗？”是我递送的第九篇文章，“探索梅森合数的分解”是我递送的第十篇文章，或许由于这两篇文章都涉及到了，冯克勤和他所翻译的《博大精深的素数》，因此审稿人（注意没有称专家）以回复的形式予以了退稿。后来我才是知道，冯克勤还写了一本名为《平方和》的代数数论著作，尽管此书错误百出，但是，冯克勤似乎正是凭了此书，才当上了保王（子）党的得力干将，这位审稿人显然也是其中的要员，对于冯克勤当然要百般的披护了，请看他的回复：
“据审稿人所知，到2009年为止，已发现47个梅森素数，其中第42到47个如下：
序号   p             M_p的位数    发现时间
42　25964951　7816230     2005
43   30402457   9152052      2006
44   32582657   9808358      2007
45   43112609   12978189    2008
46   37156667   11185272    2008
47   42643801   12837064    2009
作者所说对应于p为37156667和43112609的梅森素数分别是第46和45个（按发现时间为序）。
审稿人没有看过里本伯姆所写《博大精深的素数》这本书，无法评价其中是否“证明多处出错”。但是像这类问题，作者完全可以也应该直接与作者联系，也可以与译者联系。而不宜先刊登在科学智慧火花栏目。”
审稿人没有看过里本伯姆所写《博大精深的素数》这本书，无法评价其中是否“证明多处出错”。这是什么话？“火花”为什么不找一位深入研究过《博大精深的素数》的专家来审稿？难道说在我国根本就没有人研究过，里本伯姆的《博大精深的素数》，这岂不是让人大跌眼界，当然，这完全是搪塞，或许在我国的这些数学专家之中，确实还没有谁真正看懂了这本书。
侯小山先生说我是傻瓜，我自己知道我确实很傻，我的座右铭一直都是：“一生拼搏，苦亦乐，无悔，傻。”，然而我决不会傻到让这个审稿人，轻易就将我卖给了冯克勤和里本伯姆，还要再听他的使唤，去向冯克勤和里本伯姆去索取我的卖身钱吧？！对于此类情况，我过去的应对方法是，向中科院领导如实反映情况，现在看来如此在网上直接曝光，或许更为有效，我总觉得学术上的腐败，比经济上的腐败更为可怕，因为其影响会更为深远。倪则均，2015年1月3日。





梅森素数真的那么稀少吗？
倪则均
对于Mp=2p-1（p为素数）形梅森素数来说，至2004年5月15日为止，人们已经找到了下表里的四十一个。前几年在报上看到，德美二国的数学家又发现了，二个超大的梅森素数，它们的2的指数p分别为：37156667和43112609，不知这两个梅森素数的排列序号是否该是42，43。
序号        p        序号        p        序号        p        序号        p
1        2        11        107        21        9689        31        216091
2        3        12        127        22        9941        32        756839
3        5        13        521        23        11213        33        859433
4        7        14        607        24        19937        34        1257787
5        13        15        1279        25        21701        35        1398269
6        17        16        2203        26        23209        36        2976221
7        19        17        2281        27        44497        37        3021377
8        31        18        3217        28        86243        38        6972593
9        61        19        4253        29        110503        39        13466917
10        89        20        4423        30        132049        40        20996011
                                                41        24036583

表中大于p=127的梅森素数，都是根据Lucas的素性检测，编制出一个运算程序，后来又开发出了一套软件，通过电子计算机所得到。加拿大的里本伯姆写了一本名为《博大精深的素数》的书，书中对Lucas的素性检测作了以下介绍：
令P=2，Q=-2，考虑它对应的Lucas序列（Um）m≥o和（Vm）m≥o。它们的判别式为D=12。则N=Mn为素数当且仅当N│V（N+1）/ 2。
证明：若N为素数，由（4.2）
V2（N+1）/2=VN+1+2Q（N+1）/2=VN+1-4(-2)（N-1）/2≡4（-2/N）VN+1≡VN+1+4(mod n)
显然，里本伯姆将简单问题复杂化了，对于N=Mn素数来说，由于Q=-2是其非二次剩余，即有Q（N+1）/2≡2，根本不用引进Legendre符号（-2/N），因此下面的解释纯属多余。
这是因为N≡3(mod 4)和N≡7(mod 8)，可知（-2/N）=（-1/N）（2/N）=1。只需再证VN+1≡-4(mod n)。由（4.4）2VN+1= VN V1+D UN U1= 2VN +12UN。再由（4.14）和（4.13）VN+1= VN +6UN≡2+6（12│N）≡2-6≡-4(mod n)。
反之设N│V（N+1）/ 2 ，由（4.2）知N│VN+1，又由（4.6），V2（N+1）/2              -12U2（N+1）/2=4（-1）（N+1）/2，从而gcd（N，U（N+1）/2）=1。又有gcd（N，2）=1，由第2.5节检测1可知N为素数。
为了计算简单,更方便的是将序列（Vm）m≥o改用由：S0=4，Sk+1= Sk2-2，递归定义的序列（Sk）k≥o。此序列为：4，14，194，…，而检测为：Mn=2n-1是素数当且仅当Mn│Sn-2。由于里本伯姆的证明多处出错，因此下面的证明只能全部重写：

证明：S0=4=V2/2。设S k-1=V2^k/2^2^k-1，则
Sk=Sk-12-2=V2^ k2/2^2^k-2=（V2^ k+1+2^（2^k+1））/2^2^k-2=V2^ k+1/2^2^k

由上述检测即知：
Mn为素数←→Mn│V（（M  +1）/ 2=V2^(n-1)=2^2n-2Sn-2←→Mn│Sn-2。
下面我们不妨先分析一下，上述已知梅森素数的分布情况。在0至100范围之内，共有25个素数，其中有10个生成梅森素数，所占的比例为40%。在100至5000范围之内，共有644个素数，其中也只有10个生成梅森素数，所占的比例为1.55%。在5000至200000范围之内，共有17315个素数，其中还是只有10个生成梅森素数，所占的比例为0.0577%，……，于是，我们不仅要问，在整个自然数之中，梅森素数真的会如此稀少吗？
根据笔者对于全体奇素数的设层立阶分析，任何一个奇素数，既可以生成0层1阶素数——梅森素数，也可以生成其它各层的1阶素数。反过来，一个生成其它各层1阶素数的奇素数，仍然可以生成0层1阶素数——梅森素数。因此，从生成的角度来看，梅森素数的生成，是不存在任何干扰因素的，所以，梅森素数的分布完全不应该如此稀少。
那么问题到底出在那里？其实问题就出在上述Lucas的素性检测上。当然，这个素性检测是正确的，它可以保证找到的必定都是梅森素数，但是它不能保证可以将全体梅森素数，由小到大逐一按序一个不拉地全都找到。因为类似于Lucas的素性检测方法，可以写出许多，例如当P=2，Q=-2n（n=1，2，3，……）时，都可以得到一个素性检测方法，Lucas的素性检测方法，只是n=1时的一个特例。希望会编程的朋友，不妨也编制出一套n=2时的运算程序，打捞出几条漏网之鱼让大家看看。