与哈代公式的比较

小草

                        与哈代公式的比较
   根据施承忠筛法公式：一定存在一个实数λ使得
            n/(lnn)^λ<T(n)<G(λ,n)
其中T(n)是不大于n的孪生素数对的对数，G(λ,n)=Σ1/(lnn)^λ  (n=1～n)
经过计算λ=1.92+ε或1.93+ε,ε是为适合题意的小数.
我们取λ=1.92,1.93,则有
       T(n)              n/(lnn)^1.93        n/(lnn)^1.92         哈代公式
10^1   2                1.999510646         2.016256951          2.490283616
10^2   8                5.247299211         5.328049930          6.225709040
10^3   35               23.99273179         24.46093585          27.66981796
10^4   205              137.7044381         140.7961224          155.6427260
10^5   1224             895.1825596         917.3255065          996.1134466
10^6   8169             6296.392712         6463.912620          6917.454490
10^7   58980            46761.07682         48079.24518          50822.11462
10^8   440312           361376.6153         372060.1036          389106.8151
10^9   3424506          2827860.310         2967565.132          3074424.218
10^10  27412679         23492201.69         24240740.24          24902836.16
10^11  224376048        195450073.7         201870064.7          205808563.3
10^12  1870585220       1652357119.16       1708118063.06        1729363622.47
10^13  15834664872      14158363262.06      14647875542.27       14735406013.34
10^14  135780321665     122714706206.99     127051573832.68      127055286505.35
10^15  1177209242304    1074156574271.93    1112885951890.47     1106792718238.87
10^16  10304195696798   9483676552188.14    9831856040430.09     9727670378331.69
10^17  90948889353159   84364027071545.65   87515292498787.11    86168983260140.17
10^18  808675888577435  755523167116851.4   784192470267652.2    768606057912010.9
      哈代公式是伟大的，这个经验估计能够达到如此精确的地步是少有的，但当n>10^14时它的精度就比n/(lnn)^1.92差多了.这就是没有证明的代价.当n不很大时     G(1.92,n)要比n/(lnn)^1.92精确的多，当n趋向无穷时它们应当是一样的.
      为什么n/(lnn)^λ当n很大时直至趋向无穷要比哈代公式精确呢？因为这两个常数的级别不同，λ是比2C(n)高级的常数，如果高级的常数不正确，想用低级的常数来弥补，这个作用就差多了.
      另外λ是一个超越数，它在零后面可以有无穷多个位数，你要多少就有多少.但是我们现在的能力还不够,我们现在要计算到小数点后的第三个常数已经相当困难了.
             施承忠    2009.7.21