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[这个贴子最后由小草在 2008/03/12 08:27pm 第 3 次编辑]
哥德巴赫猜想与素数定理的初等证明二
（二）
素数定理的证明
(1)
素数定理A
前言
这个证明朴素有力，超过了阿达玛。它利用爱氏筛法与欧拉函数的的一种联系证明了存在一个函数族x^s=π(x)，它的指标 s=s(x)或s=s(pk),k=π(pk),p1,p2,p3,...,pk是所有不大于pk的素数，0≤s(x)<1，0≤s(pk)<1,lims(x)=1,lims(pk)=1,s(pk)≠s(pt),s≠t,但t是任意的整数。它说明limπ(x)=∞，s(x)∈S,s(pk)∈S,它的指标集S的元素个数S(x)=x或S(x)=π(x),也说明 π(x)与它的指标集S(x)有着密切的联系.这是说：整数集合中素数的个数可以是指标集合中的元素个数，但整数趋向无穷，而指标值且小于1,所以π(x)=x/lnx^A,limA(pk)-A(pk-1)=0, lims(pk)=A0.
素数定理A的证明
命π(x)=x^s,则x趋向无穷s趋向1.
证：
k k k
当n=Πpi时，欧拉函数φ(n)=Π(pi)-1.从1≤x≤Πpi个整数中筛掉p1,p2,p3,...,pk的
i=1 i=1 i=1
合数后筛剩的数有
φ(n)+k-1
k k
设mk=Πpi,命φ(mk)=Π(pi)^si,因为(pk)-1=(pk)^s,则k趋向无穷，s趋向1，所以mk趋
i=1 i=1
向无穷sk趋向1,φ(mk)=(mk)^s,mk趋向无穷s趋向1.命φπ(mk)=φ(mk)+k-1, 则φπ(mk)=(mk)^s,mk趋向无穷s趋向1.因为在φπ(mk)个数中，最大的合数是(pk+1)^2,所以 φπ(mk)可以表示成π(((pk+1)^2)-1)+Δφπ(mk),当s趋向1时必先通过π(((pk+1)^2)-1)再通过Δφπ(mk),当s到达 π(((pk+1)^2)-1)时为s0,到达φπ(mk)时为s=s0+Δs.由s趋向1，则s0趋向s,所以s0趋向1.
证毕。
(2)
素数定理B
前言
在素数定理A中，我们证明了π(x)=x^s,则x趋向无穷s趋向1.但是这个证明还不够理想。设x=x0+R,η=η0+Δ，如果 π(x0)=（x0）^η0，我们如何来计算π(x)=x^η，至少应当知道Δ≥δ.素数定理B就为我们解决了这个问题。
素数定理B证明
命π(x)=x/lnx^A,则limA=1
证：
在素数定理A中我们证明了π(x)=x^s,则x趋向无穷s趋向1.那么一定存在一个函数 F(x)=x^Δ，x趋向无穷Δ趋向0使π(x)=x/F(x)成立。我们有函数lnx^A=x^Δ,x趋向无穷 Δ趋向0，所以π(x)可以表示为x/lnx^A.当x相当大时A<1,因为F(x)=x/π(x)，如果A<1,必有lnx-F(x)=︱c︱,由︱c︱<lnlnx,所以lim︱c︱=o(lnx),limA=1.
证毕。
(3)
素数定理C
前言
在素数定理B中，我们无须写出c的具体值，在素数定理C中我们要考虑c的具体值。
素数定理C的证明
命π(x)=x/（lnx-c）,当x相当大时c>1.
证：
在素数定理B中我们证明了limA=1,还导出了︱c︱<lnlnx，当x=10^22时c=1.021022156,故x相当大时1<︱c︱<lnlnx.
证毕。
(4）
π(x)=x^s的指标集S的一些性质
在素数定理A中我们证明了π(x)=x^s,则x趋向无穷s趋向1.x^s是一个函数族，命x=pk,s=s(pk),s(pk)是x^s的一个指标，它有一个指标集S,s(pk)∈S,0≤s(pk)<1，S的元素个数用S(pk)表示，此时π(pk)=S(pk),而π(pk)趋向无穷S(pk)<1.
s的完备指标集
由于在mk个分段整数中筛掉p1,p2,p3,...,pk及它们的合数后的元素个数是一样的，它们是一个完备的周期。 π(mk)=x^s(mk),s(mk)∈(S)，(S)称为s的完备指标集，π(x)的s的完备指标集中的元素值是一个递增数列。命函数F的指标点集合为Z,则Z中的点都是孤立的，而且没有重点。
指标函数的延拓
设x^s的一个指标函数x^s(pk0),我们可以将x^s(pk0)延拓到整个整数轴，由s趋向1，而s(pk0)<1是一个定数，所以当x足够大时就有π(x)>x^s(pk0).简单的说：一个任意的正数η<1，必存在一个整数x使π(x)>x^η.
s中点集合的距离
由S(x)=x,x的整点的距离d=1，S(x)的平均距离=1/γx，limγ=1.命π(x)中的素数平均距离=1nx^A，A的平均距离=1/λx，limλ=1,limλ=limγ.
指标集中点的拓扑变形
如果一个闭空间Ω，经作用Γ的一个拓扑变形，而且这个作用无限进行下去，只要这个Γ的作用不是随机的，那么它必将有一个极限，假定这个极限是Ω0，Ω0可以是无穷也可以是零，我们将这种现象用limF(Ω)=Ω0来表示。
现在我们将这个现象运用到数学中来，一根实数轴，或者复平面经过函数F的作用变形成为F(x)或者F(z),只要F不是随机的，而且这个作用无限进行下去，那么它也必然有一个极限x0,当然x0可以是无穷或者是零。
命x0是一个相当大的数，π(x)=x^s将π(x)拓扑变形到s,使lims=s0,这种变形主要是靠了一种筛法的作用，而筛法的作用依靠
x→x0
的就是素数集合的作用，所以这种作用具有返馈性，因为x0是一个相当大的数，在x≤x0这个作用已经起到了一个稳定的拓扑作用，如果s0=G(x0),那么我们在没有改变筛法的情况下，s=G(x)这个关系不会改变。因为当x=x0时我们有A=λs,在x≤x0时都有0≤λ<1, G(x1)=λ1,必有G(x2)=λ2,x2>x1,使λ2<λ1成立，所以limλ=1,imA=lims=1.
作者施承忠 2008.3.12
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发表于 2008-3-12 19:57
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发表于 2008-4-7 18:01