安德烈·塞迈雷迪——2012 年度阿贝尔奖得主

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安德烈·塞迈雷迪——2012 年度阿贝尔奖得主

撰文 | 史永堂

阿贝尔奖

2012 年 3 月 21 日，挪威科学与文学院宣布，将 2012 年度的阿贝尔奖授予匈牙利数学家安德烈·塞迈雷迪（Endre Szemerédi）。

挪威科学与文学院在颁奖词中说，决定将 2012 年阿贝尔奖授予匈牙利科学院数学研究所的数学家安德烈·塞迈雷迪，“以嘉奖其在离散数学和理论计算机科学方面的杰出贡献，以及对堆垒数论和遍历理论产生的深远影响。”

颁奖词说，塞迈雷迪为离散数学引进了独创性的计算技巧，解决了许多根本问题，使该领域实现了革命性变化。他还揭示了组合学与堆垒数论、遍历理论、理论计算机科学和关联几何学等诸多领域的深层联系，使组合学成为数学界的重要课题。

塞迈雷迪 1940 年 8 月 21 日出生于匈牙利布达佩斯，现任匈牙利科学院院士和美国科学院院士、匈牙利科学院 Rényi 数学研究所研究员，美国 Rutgers 大学计算机系教授。

塞迈雷迪亦曾在斯坦福大学（1974）、加拿大麦吉尔大学（1980）、南卡罗来纳大学（1981-1983）和芝加哥大学担任众多客座职位。他于 1987-1988 年获得加州理工学院谢尔曼·费尔柴尔德杰出学者称号。他还是蒙特利尔大学数学研究所 Aisenstadt Chair 的获得者。2008 年，塞迈雷迪成为伯克利数学科学研究所艾森巴德教授。

2012 年 5 月 22 在挪威奥斯陆举行阿贝尔颁奖仪式，挪威国王为塞迈雷迪颁奖。

对于他的获奖，塞迈雷迪称是对匈牙利离散数学研究领域的奖励，他还谦虚地表示，有许多其他数学家更应该获得阿贝尔奖，但他无权修改评奖委员会的决定。颁奖当日，四位顶尖数学家 Endre Szemerédi，László Lovász（沃尔夫奖得主，下图左一），Timothy Gowers（菲尔兹奖得主，下图右一），Avi Wigderson（下图右二）给大家带来了精彩的阿贝尔报告。



阿贝尔是 19 世纪挪威的一位天才数学家，他在 5 次方程和椭圆函数研究方面取得了远超当时世界水平的成就。在 2002 年阿贝尔诞辰 200 周年之际，挪威政府设立了以他的名字命名的国际性数学大奖——阿贝尔奖。阿贝尔奖由挪威科学与文学院颁发，旨在表彰在数学领域做出具有非凡的深度和影响力的科学贡献。扩大数学的影响，吸引年轻人从事数学研究也是设立阿贝尔奖的主要目的。自 2003 年起每年颁发一次，奖金为 600 万挪威克朗（约合 100 万美元），阿贝尔奖有“数学界诺贝尔奖”之称。

曲折的数学路

塞迈雷迪是公认的具有非凡研究能力的数学家，他对当今的数学产生了无比深远的影响。但是，塞迈雷迪作为数学家的生涯很晚才开始。

塞迈雷迪的父亲希望他将来能成为一名医生，所以开始时他去一所医学院学习，但是很快他就意识到这并不适合他。因为自己不确定应该学什么，所以他学了很多自己不感兴趣的课程。在第一学期结束之前他毅然地选择了离开，而后在匈牙利的一个工厂里找到了一份工作。两年后，受到自己高中同学（后成为物理学家）的鼓励，他去了布达佩斯的罗兰大学，事实上他对他的学习并不是很感兴趣，直到入学的第二年，一个重要的人物出现了——图兰（Paul Turán）。这一年图兰讲了一年的数论课程，他精彩而全面的讲解深深地吸引了塞迈雷迪。



数学家图兰（Paul Turán，1910-1976），匈牙利科学院院士，主要研究数论与图论，是埃尔德什（Paul Erdos，1913-1996）的好朋友，与埃尔德什合作发表 28 篇论文。在数论方面他的大部分工作是研究黎曼假设，并于 1934 年给出了哈代和拉马努金（1917年）关于数论函数的一个新的简单的证明，被认为是概率数论研究的起始点之一；在图论方面，埃尔德什认为他开创了研究图论中极值问题这一领域，也就是现在的极值图论，著名的图兰定理是极值图论的一个重要而基本结果。1952 年与 Vera T. Sós（1930-，著名的数论学家、组合数学家、匈牙利科学院院士）结为夫妻。

不久以后，他又遇到了数学大师埃尔德什（Paul Erdos，图左）和 Andras Hajnal（1931-，图右，匈牙利科学院院士）。Hajnal 主要研究集合论与组合数学，与埃尔德什合作发表论文 56 篇。



塞迈雷迪自此开始了对数学，尤其是离散数学的研究，并于 1965 年获得罗兰大学科学硕士学位。

1967 年开始，塞迈雷迪在莫斯科国立大学继续进修，并于 1970 年在盖尔范德（Israel M. Gelfand，1913-2009）的指导下获得博士学位。事实上，塞迈雷迪对盖尔范德的研究方向并不感兴趣，他还是希望能够继续学习图兰的理论，但是由于教育体制的原因他不能更换导师。幸好盖尔范德允许他做自己想做的方向，所以最后塞迈雷迪提交了关于离散数学方面的论文。



盖尔范德（Israel M. Gelfand），苏联数学家。1913 年 9 月 2 日生于红奥克内，1930 年中学未毕业时迁居莫斯科，以后自修数学。19 岁时，进入莫斯科大学攻读研究生课程，于 1935 年获副博士学位，1940 年获物理学数学科学博士学位。1943 年起任莫斯科大学教授，后兼任该大学生物数学研究所所长，1953 年当选为苏联科学院陆军通讯院士，1978 年获得沃尔夫奖。2009 年 10 月 5 日逝世。盖尔范德建立了赋范环论，即交换巴拿赫代数论。他运用代数方法，引进极大理想子环空间，给出元素在其上的表示（盖尔范德表示）的概念，将线性算子谱论等学科研究引向深入。他与 M. A. 奈玛克合作，于 1943 年开创了 C* 代数的研究。此外，他在酉表示理论及广义函数论方面都有建树。

获奖与荣誉

2010 年，正值塞迈雷迪 70 岁生日，匈牙利科学院数学所和 János Bolyai 数学学会在布达佩斯召开大会，庆祝他取得的杰出成就。在会议前出版的“An Irregular Mind”一书中，曾有这样的描述，“塞迈雷迪具有不同寻常的脑袋，他的大脑构造与大部分数学家截然不同。我们都对他独特的思考方法和超乎寻常的远见敬佩不已。”

凭借其在数学和计算机科学方面的杰出贡献，塞迈雷迪已获得众多奖项与荣誉。2008 年，凭借开创性的研究贡献，他被美国数学学会授予斯狄尔终身成就奖（Steel 奖）。同年，塞迈雷迪获瑞典皇家科学院授予罗尔夫朔克数学奖。其他奖项包括：Grünwald 奖（1967），Grünwald 奖（1968），Rényi 奖（1973），美国工业与应用数学协会（SIAM）的波利亚应用数学成就奖（1975），匈牙利科学院大奖（1979）。

数学家的另一面

塞迈雷迪如是说：“尽管我在 Rutgers 大学计算机系工作，但是我不会使用电脑。要说的是，我所有的电子邮件都是我妻子帮我回复的，我只是读邮件。所以有时我也称电脑为计算器。”他认为，网络比较容易理解，它就是一个图；但是在电脑方面，特别是程序语言以及如何去搜索信息方面，自己就比较笨。

有意思的是，他也不会使用相机，他从来没有去学习如何拍照；他自己不会开 DVD ，每次都是他的妻子帮他打开他要看的电影，再由他的孙子们帮他退出。在运动方面，他喜欢散步，每周都会去打网球，最近他又开始打乒乓球了。



辉煌的工作

正如阿贝尔奖的颁奖词所说，塞迈雷迪证明了众多具有深远影响的重要定理，他的许多成果已启迪了未来的研究，并为众多新的数学研究方面奠定了基础。塞迈雷迪已发表 200 多篇科学论文，其中 29 篇与埃尔德什合作发表。他最重要的成果之一是 Szemerédi 定理，该定理表明，对于任何具有正密度的整数集合，存在任意长的等差级数（算术级数）。让我们一起来看一下 Szemerédi 定理的起源和发展。

1927 年，荷兰数学家范德瓦尔登（Vander Waerden，1903-1996）证明了下面的结论：对任意给定的正整数 k 和 t ，总存在一个正整数 N ，满足如下条件：我们将集合 {1,2,…,N} 划分为 k 个子集，无论我们怎么划分，这 k 个子集中必定有一个子集包含 t 长的等差级数。 这就是著名的范德瓦尔登定理，满足条件的最小的 N 称为范德瓦尔登数 W(k,t) 。1936 年埃尔德什和图兰提出了如下的猜想，作为对范德瓦尔登定理的推广：对任何具有正密度的整数集合，存在任意长的等差级数。这可以看作是勒贝格密度定理（勒贝格可测集的几乎每一个点的密度都是 1 ）的一个离散近似。这个猜想很快成为 Ramsey 理论的一个重要的公开问题，被称为 Erdos-Turán 猜想。1953 年，英国数学家 Klaus Roth（1925-）用调和分析的方法证明了对长为 3 的等差级数是成立的，但是这个方法似乎不能推广到长为 4 的情况。1969 年塞迈雷迪用非常复杂的组合方法证明了长为 4 的情况。最终，塞迈雷迪在他 1975 年的那篇划时代的论文中彻底解决了 Erdos-Turán 猜想。这个问题的解决是组合数学的一大杰作，它包含了很多新的想法和工具，这些想法和工具可以用来解决很多的问题，而不仅仅是某一个难题。

这些新的工具中，有一个现在已经成为现代组合数学和图论研究的基础，即著名的 Szemerédi 正则引理。它指出：任意充分大的稠密图都可以用几乎等部的子图（非常类似于正则二部图）的并集来近似，其中子图的数目是一个有界的数字。这是一个非常惊人的结果。随后，著名数学家 Gowers 以及陶哲轩等都给出了正则引理的其他形式。除了组合数学，正则引理也在数论和计算机科学，特别是复杂性理论等领域有着广泛的应用。

那么通俗意义上来讲，塞迈雷迪的正则引理到底说的是什么呢？又应该怎样去理解呢？下文中我们将看到菲尔兹奖得主 Gowers 对正则引理的讲解以及对塞迈雷迪工作的评价，该文是 Gowers 写给阿贝尔奖评奖委员会的推荐信。

作者简介



史永堂，博士，南开大学组合数学中心副教授，主要研究方向为图论与组合最优化。

本文转载自微信公众号“数学文化”