牛顿是如何发现二项级数的？

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牛顿是如何发现二项级数的？

重新思考问题和寻找规律，指引牛顿找到了曲线和无穷和之间的联系。



撰文 | Steven Strogarz

编译 | 冶无情

审核 | 暮大河

Isaac Newton（艾萨克·牛顿）并不以慷慨大方著称，并且他对对手的蔑视也堪称传奇。但他在一封给他的竞争对手 Gottfried Leibniz（戈特弗里德莱布尼茨）的信中—现在被称为后书信（Epistola Posterior），牛顿表现出怀旧和近乎友好的态度。在信中，他讲述了他学生时代的一个故事，当时他刚刚开始学习数学。他讲述了他是如何通过猜测和检查的过程，将曲线下的面积与无限和等同起来的重大发现。他在信中的推理非常迷人且易于理解，它让我想起了小孩子喜欢玩的看数字猜规律游戏。

这一切都始于年轻的牛顿阅读 John Wallis（约翰·沃利斯）的《无限算术》（Arithmetica Infinitorum），这是一部 17 世纪数学的开创性著作。沃利斯使用了一种新颖的归纳方法来确定 π 的值，而牛顿想设计类似的方法。他从寻找可调宽度 x 的“圆形段”面积问题开始。曲线定义为:



即单位圆在水平轴从 0 到 x 之上的区域。这里 x 可以是从 0 到 1 的任意数字，其中 1 是圆的半径。牛顿很清楚单位圆的面积是 π ，所以当 x = 1 时，曲线下的面积为单位圆的四分之一，即 π/4 。但对于其他 x 值，我们一无所知。



如果牛顿能找到一种方法来确定每个可能值 x 下的曲线面积，这可能会给他提供一种前所未有的逼近 π 的方法，这原本是他的宏大计划。但在此过程中，他发现了更好的事情：一种用无限多由 x 的次幂构成的项，来替换复杂曲线的方法。

牛顿的第一步是通过类比推理。他没有直接针对圆形线段的面积，而是研究了由以下曲线界定的类似线段的面积：





“If a problem is too hard, change it. If it seems too specific, generalize it.”

不用那么在意于细节，我们在这里学到了一些解决问题的方法。如果一个问题太难了，那就改变这个问题。如果它看起来太具体，那就抽象概括它。这两者牛顿都做到了，并得到了比他最初寻求的更重要并且更有力的结果。

牛顿并没有执着于着四分之一圆。他考虑着一个更一般的形状，一个宽度为任意值 x 的圆形部分. 而不是只盯着 x=1 ，他允许 x 从 0 到 1 变化。这揭示了他的数列中系数的二项式特征——帕斯卡三角形中数字的意外出现及其概括——这让牛顿看到了沃利斯和其他人错过的规律。看到这些规律后，牛顿获得了更广泛和更普遍地发展幂级数理论所需的洞察力。

在他后来的工作中，牛顿的幂级数给了他一把用于微积分的“瑞士军刀”。有了它们，他可以做积分，求代数方程的根，计算正弦、余弦和对数的值。正如他所说，“在幂级数的帮助下，我几乎可以说，我可以分析解决所有问题。”

“Changing a problem is not cheating. It's creative. And it may be the key to something greater.”

改变问题不是作弊。这是一种创意。并且它很可能是解决更重要问题的关键。

本文转载自微信公众号“热知”。

编译来源：

https://www.quantamagazine.org/h ... er-series-20220831/