课堂内外的数学建模

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课堂内外的数学建模



作者 | 乔中华（香港理工大学应用数学系）

来源 | 本文转载自上海《数学教学》 2022 年第 5 期

第十四届国际数学教育大会（ICME-14）数学建模主题活动于 2021 年 7 月 15 日在上海华东师范大学举行。这次活动以“课堂内外的数学建模” 为主题，由中国香港儒莲教科文机构和中华国际数学建模挑战赛委员会主办，上海市实验学校数学建模中心师生团队参与策划和组织，采用线上线下相结合的方式进行。活动中，国际数学教育委员会（ICMI）主席梁贯成教授特别向主题活动发来祝贺和嘉勉。国际数学建模挑战赛（IMMC 或 IM^2C）国际组委会主席、美国数学及其应用联合会总裁 Sol Garfunkel 博士，做为特别嘉宾，介绍了 2021 年 IMMC 国际赛的情况，并向所有参加 IMMC 的团队表示祝贺。中国高中数学课标修订组组长、首都师范大学王尚志教授做为线下主礼嘉宾做了《让数学建模在数学教育中扎根》的主题致辞。做为本次活动的重头戏，主办方邀请了国际数学建模挑战赛 2021 年获奖团队代表展示了各自的获奖方案，并且邀请部分参赛指导教师做了数学建模教学经验的分享。


▲IMMC 国际数学建模挑战赛国际组委会主席、美国数学及其应用联合会总裁 Sol Garfunkel 博士在 ICME-14 在线致 IMMC 主题活动开幕词

IMMC 对数学建模和 STEM 教育的推广

国际数学建模挑战赛（IMMC 或 IM^2C）是一项面向全球中学生的国际性数学建模竞赛，竞赛宗旨在于鼓励参赛者应用数学建模，探索和解决现实世界的重要问题，以普及数学建模教育，增强中学生科技创新核心素养与关键能力。

IMMC 每年为来自东西方不同国家和地区的中学生提供了在课堂之外运用数学建模知识和技能解决共同的实际问题的机会，将课外实践与课堂学习有机连接起来，也为数学建模与数学教育的成功整合提供了范例[1]。IMMC 创设具一定复杂度的真实建模问题，并通过赛制为参赛团队提供了以学生为中心的自主建模环境，学生将课堂学习或赛前准备中获得的建模知识和技能，独立运用到解决 IMMC 挑战题中，在真实情境下体验团队协作、自主决策以及沟通和报告的技能。每一支成功完成挑战赛的队伍都表现出了建模素养和建模元认知能力[1]。

IMMC 通过竞赛活动、延伸教学、创新先导计划以及地区性或国际性联校数学建模活动，引领师生体验数学建模的意义，体验它与现在和将来学习，以及与未来就业和创业的关系。IMMC 通过对中学生数学建模素养的培养，把数学建模活动做为教育载体，积极在中学校园推广，让更多的学子能够提早进入数学建模的创造与发现的实境，在时代大变革中更富有科学和理性的力量，更具备正确定义问题和有效解决问题的能力。过去七年中，IMMC 参赛同学在大学阶段绝大多数选择了 STEM 领域的学科，包括数学、计算机科学、物理、化学、生命科学和医学，以及经济与金融等方向。IMMC 很荣幸有超过 40% 的参赛者是女生，她们以及她们的母校和老师的支持大大促进了女性在 STEM 领域的参与和发挥她们的才能。IMMC 亦连续多年获得香港特区政府优质教育基金，在中学推广数学建模教与学，实现了以竞赛促进教学的宗旨，大力推广了数学建模与 STEM 教育。



IMMC2021 获奖队伍分享——同一问题的不同解决方案

2021 年 IMMC 的问题是“谁是最伟大的运动员？”（Who is the Greatest? Maradona or Pelé? Biles or Khorkina? ）问题要求参赛团队建立数学模型，评估出史上最伟大的运动员。来自世界各地近 30 个国家和地区选送的 50 余支团队进行了热烈的决逐，经过国际专家组的评审，决出了本届 IMMC 的两支特等奖获奖团队香港拔萃女书院团队和新加坡华侨中学团队[2]。

在本次主题活动中，两支特等奖团队分别报告了他们的建模方案[3]。香港拔萃女书院队伍在报告中首先为对抗性和非对抗性单人运动设计了两个模型。在模型 1  里，她们从运动员比赛得分、对手间能力差异等方面出发, 以 Elo 模型为基础, 分析建立数学模型，算出 Simona Halep 为 2018 年度最佳女子网球选手。在模型 2 里，她们先以成就为标准，筛选出较佳的选手, 再以科技因素和年龄因素对选手游泳速度作出调整, 进而互相比较, 运用二次函数拟合、最小二乘等方法，建立了用于评选男子 100 米蝶泳最伟大的运动员的数学模型, 最后发现 Michael Phelps 为蝶泳的最佳选手。接着她们把模型的应用拓展到所有单人运动。针对团体运动, 香港拔萃女书院队伍通过分析团队成员数量、各成员贡献等因素，参考单人项目的模型, 给出了不同类型团体项目最伟大运动员的评选机制。

新加坡华侨中学团队的建模以加权有向图为主要工具。他们首先收集了 2018 年女子网球大满贯的比赛数据, 以加权有向图来代表不同选手间的比赛, 其中每名选手在图中以一个节点来表示。接着他们运用弗洛伊德最短路径算法，算出了每名运动员的相对水平分数, 从而建立了女子网球比赛 2018 年运动员评价的数学模型。之后, 他们在此模型基础上加入运动员金牌纪录、成绩稳定性及与其他运动员对抗的实力等指标, 进一步发展了针对一般个人运动的最伟大运动员评价数学模型。新加坡华侨中学团队进一步以个人运动评价模型为基础，考虑了每名队员对整个队伍整体实力的影响, 给出了团体运动最伟大运动员评价的数学模型。

主题活动还邀请了其他 3 支 IMMC2021 国际获奖队伍做了分享, 包括来自中国北京陈经纶中学分校、上海中学国际部，以及西班牙 IES Thader 学校的团队。五支团队向大会展示了同一问题的各具特色的不同解决方案，充分展示了数学建模的不拘泥于标准答案的开放性与创造性，为与会老师和同学带来了深层次的数学建模体验。同时, 各支获奖队伍还展示了具浓郁本地特色的视频介绍，让与会者在享受学术盛宴的同时，体验了开放的国际文化交流。

数学建模活动对校内教师教学方法的提高

数学建模活动的开展，促进了中学教师对数学教学方法的探索和提高。此次数学建模主题活动中，主办者还邀请了部分IMMC参赛指导教师做了数学建模教学经验的分享。

来自中国香港拔萃女书院的杨宝琪老师提出了一个有趣的公式[4]:




▲香港拔萃女书院杨宝琪老师在 ICME-14 在线分享数学建模教学经验

她认为，IMMC 国际数学建模挑战赛为中学生提供了一个优异的平台，学生们想要完成挑战，不仅要拥有数学和编程的能力，其他跨学科的软技能如沟通能力、协作能力、领导力、创造力等能力也相当重要。而在建模过程的准备中，老师也发挥重要作用，这包括激发学生对数学产生持续的兴趣，并提供适当的环境和引导，就能有效地提升学生学术上的表现。数学建模有别于传统的数学范畴，是使用数学方式来对现实世界进行描述和分析，运用多种手法和方式来建立模型，进而做出预测或决策，为实际问题的解决提供分析和依据。这恰恰可以激发学生的创意。竞赛前的学习实践中，老师可以通过适当的引导，鼓励学生尝试解决不同的实际问题，运用各种方法，甚至是创造性使用独特的数学工具，来构建合适的数学模型。IMMC 数学建模挑战赛的良性竞争机制，更能激发学生的学习潜能。要完成挑战，学生们必须以坚毅的决心和信念，在限时内(区域挑战赛为 96 小时，国际挑战赛 120 小时)了解题目，分析原始数据，作出合理假设，建立模型，继而筛选和优化答案，最后汇总做出报告。这样密集的头脑风暴，不仅激发出了学生的无限潜能，也给我们带来了重重惊喜。而在这个可持续优化的系统中，数学教育工作也能取得长足的进步。

这一别具特色的公式，凝聚了杨老师丰富的教学经验与总结，给大家提供了中学数学建模教学的启示。

来自北京中学的谭雪老师则从学校育人理念、数学建模与创新人才培养的关系，以及数学建模课程体系建设等多方面，展示了北京中学在数学建模课内外教学中所做的工作[5]。谭老师强调, 创新人才是我国升级为创新型强国的关键。在这样的时代背景下，如何培养创新型人才就成为了教育工作者们需要思考和探索的首要问题。秉承着“让人成为人，让自己成为自己”的理念，北京中学致力于培养学子具有优秀的创新型人才所需的心理素质，具有坚强的人格，具有领导力以及“美美与共”的沟通与合作能力。北京中学数学组注重从科学人文、发明创造两个维度培养北中学子的创新人才品质，为此，北京中学数学组选择了数学建模作为校本课程。


▲北京中学谭雪老师在 ICME-14 在线分享数学建模教学经验

谭老师介绍，北京中学数学建模课程的发展，萌芽于 2017 年第一次参加 IMMC 国际数学建模挑战赛。比赛结束后，北京中学数学组几位志同道合的老师们组成了数学建模课程小组，建设了包含初、中、高三个级别 8 大主题 100 学时的进阶式课程体系。在各个阶段依据国家课程标准和内容，设计符合学生认知水平的专题内容，分别培养学生不同的素养。在多年的课程建设与探索中，北京中学数学建模课程在国内及国际数学建模教育交流中产生了积极的影响。

上海市实验学校的陈夏明老师从学校历届毕业生的学术发展跟踪研究、学校数学建模课程发展路径以及普惠、普及与共同发展三个维度，介绍了上海市实验学校在数学建模教育教学方面的经验与探索[6]。陈夏明老师介绍，上海市实验学校在建立体系化的数学建模“核心三人组”学习共同体以及跟队制度的课程建设基础上，探索出了常规课堂的数学建模教学，在 2021 年实现了面向全体同学的数学建模教学全覆盖。在学习共同体建设方面，学校将课堂学习、竞赛与研究有机融合，统筹课内课外两类资源，将课外建模活动与竞赛纳入教学计划，并打通核心课程、拓展课程与学生社团，保障学生充分的学校学习实践时间。基于 IMMC 国际数学建模挑战赛活动的校内数学建模教学计划清晰地显示，竞赛除了为学生提供学习成果检验之外，更重要的是成为数学建模学习的资料来源，成为学生各项能力提升的一个实践舞台。赛后学术活动的解构论文、反思学习、答辩分析等活动促进学生在解决真实问题的过程中全方位的成长。


▲上海市实验学校陈夏明老师在 ICME-14 分享的基于建模竞赛活动的实践教学安排时间表

上海市实验学校参加数学建模项目的有八届学生（2014 届 - 2021 届）。对这些学生的调查显示，从中学阶段开始参加数学建模项目的同学, 硕士、博士的深造比率高（大于 70％）。从就读专业来看, 本科、硕士、博士学生 STEM 专业集中度上升, 尤其是博士阶段的研究题目，聚焦数学、物理和计算机等 STEM 专业。这表明参与数学建模项目的学生以基础STEM学科和国家急需为志向, 体现了数学建模的价值导向性和当代学子的担当。得益于数学建模学习和竞赛实践，学生也感受到了数学在生活中的重要作用，意识到能够用自己的知识解决简单的社会与民生问题，这让数学建模在他们的心里埋下了“创新”的种子，让人期待将来他们能够借助数学这个强大的工具, 为祖国和社会发挥自己的光热。


▲上海市实验学校陈夏明老师在 ICME-14 分享数学建模教学经验

让数学建模在中学数学教育中扎根

中国高中数学课程标准修订组组长、首都师范大学王尚志教授在主题活动上做了《让数学建模在数学教育中扎根》的主题致辞[7]。

王教授首先通过数学在现代科技和社会发展中的重要作用，阐释了数学建模对数学综合素养的价值。数学既是自然科学的重要基础，在社会科学中也发挥着越来越重要的作用，并已广泛应用于现代社会和日常生活的方方面面。随着现代科学技术特别是计算机科学、数据技术和人工智能的飞速发展，数字化已成为社会发展的重要潮流，极大地拓展了数学和数学建模应用。通过建模、算法和计算技术的应用，数学直接创造经济与社会价值，促进生产力的发展。


▲中国高中数学课标修订组组长、首都师范大学王尚志教授在 ICME14-IMMC 主题活动线下现场做主题致辞：《让数学建模在数学教育中扎根》

在简要回顾数学建模走进基础教育的发展历程后，王教授结合高中数学课程标准的目标、内容和教学，鼓励中学教师在教学中勇于实践，经过感悟数学应用、学习数学模型、学习数学建模、实践数学建模四个不同阶段，循序渐进引领学生进入数学建模的实践过程。在活动过程中，将数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（四基），转化为发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力（四能）。

王教授也指出，数学建模对于旨在促进学生综合实践能力及创新才能的考试评价的研究具有重要意义。改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”现象，是重要的政策导向，而数学建模进入考试评价对于考查学生在真实情境中解决实际问题的能力，具有积极作用。

历时 3 个小时的数学建模主题活动在大家的依依不舍中落下了帷幕, 然而数学建模在中学校园的推广活动仍然任重而道远，数学建模所追求的价值——创新、普惠与共享，将成为更多数学建模教育工作者共同的愿景与奋斗目标。

（北京中学谭雪老师、香港拔萃女书院杨宝琪老师和上海市实验学校陈夏明老师为本文作出了贡献, 特此致谢！）

参考文献：

[1] Garfunkel, S., Niss, M., and Brown, J.P. (2021). Opportunities for Modelling: An Extra-Curricular Challenge. In F. K. S. Leung, G. Stillman, K. Gabriele, & K. L. Wong (Eds.), Mathematical Modelling Education in East and West. Cham, Switzerland: Springer.  

[2] The 2021 International Mathematical Modeling Challenge Results ［EB/OL]. [2022-03-15]. https://immchallenge.org/Contests/2021/Results.html.

[3] The 2021 International Mathematical Modeling Challenge Judges Commentary and Outstanding Papers [EB/OL]. [2022-03-15].  http://immchallenge.org/Contests ... IMMC_Judges_Com.pdf

http://immchallenge.org/Contests/2021/Solutions.html

[4]  杨宝琪,《有关数学建模教学经验点滴》，主题活动报告,“IMMC主题活动：课堂内外的数学建模”，第十四届国际数学教育大会，上海，2021 年 7 月。http://istem.info/web/news_detail.php?id=274

[5] 谭雪,《数学建模教学与创新人才的培养》，主题活动报告，“IMMC主题活动：课堂内外的数学建模” [EB/OL]. [2022-03-15].  http://istem.info/web/news_detail.php?id=274

[6] 陈夏明, 《数学建模的启蒙与推广——从校本走向普惠》，主题活动报告， “IMMC主题活动：课堂内外的数学建模” [EB/OL]. [2022-03-15]. http://istem.info/web/news_detail.php?id=274

[7] 王尚志，《让数学建模在数学教育中扎根》，主题活动致辞，“IMMC主题活动：课堂内外的数学建模” [EB/OL]. [2022-03-15]. http://istem.info/web/news_detail.php?id=274