四年一届的国际数学家大会(International Congress of Mathematicians,ICM)是由国际数学联盟(IMU)主办的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术交流,在开幕式上将颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。会议期间,将有世界各地从事国际数学前沿研究的著名数学家报告他们所在领域的重大科研成果。ICM 报告人身份是极高的学术荣誉,是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。
A:对,我博士时基本上学的就是几何表示论,而几何朗兰兹是其中一部分。研究方向的转变也不是一下子就转过来的。博士后期间,我发现自己博士期间写的第一篇文章“Affine Demazure modules and T-fixed point subschemes in the affine Grassmannian”中的一些方法可以用来解决一些算术几何学家提的问题,具体来说就是 Pappas-Rapoport 的一个猜想。他们的动机来自于志村簇的研究,但是这个问题本身其实可以脱离志村簇,更多的是一些代数几何方面的问题。正好我就发现我写的这篇文章的一些技术可以用来解决这个猜想,顺便我就学了一下什么叫志村簇。所以说,学习一个概念或一套理论的最好时机就是你需要在研究中使用这个东西的时候,并且即学即用就会发现,其实这个东西也没有那么高深。解决猜想之后就把关于志村簇的一些代数几何,所谓的叫做局部模型(local model),大大推进了一步。
再往后是跟肖梁合作了,正好他之前和田一超做了一些关于四元数志村簇的 Tate 猜想和一些几何结果,这个东西有些地方和几何朗兰兹里面一些函数域上的模空间,比如 shtuka 之类的,有些相像。正好大概那个时候 V.Lafforgue 做了一个突破,把函数域的朗兰兹大大地推进了。后来我就意识到,几何朗兰兹的方法可以用来研究志村簇上面的这些 Tate 猜想、Jacquet-Langlands 对应之类的,一大套东西都可以做。因为以前几何朗兰兹都是研究函数域,即等特征上面的一些几何,为了应用到志村簇上面,必须要发展一些混特征的东西。所以那时候我就写了“Affine Grassmannians and the geometric Satake in mixed characteristic”,相当于是要建立一些基本的工具,这样就可以真正把几何朗兰兹的一些结果或者方法用到算术几何上面。之后我们系统地构造成了这种不同群之间的 Jacquet-Langlands 对应,还有模 p 志村簇上的 generic 情形下的 Tate 猜想。再然后就是应用到“Beilinson-Bloch-Kato conjecture for Rankin-Selberg motives”这篇文章上。
朱歆文(左)与肖梁 2019 年参加 AIM 的研讨会合影
后来我自己又理解了这个工作背后更深层的现象,所以有了去年 8 月份的一篇文章,“Coherent sheaves on the stack of Langlands parameters”。这个文章系统地做了一个框架,提出了很多经典朗兰兹里面的猜想。当然这个文章自己并没有证明什么很大的定理,就是一些基础的构造,比如构造了伽罗华表示模空间、朗兰兹参数模空间这种东西。但是主要是提了一些猜想,我想是把以前那些算术朗兰兹里面的很多问题和现象统一起来了,比如说它跟 Taylor-Wiles 的模性定理关系很紧密,所以现在正在和 M.Emerton 及 T.Gee 考虑,我描述的这些猜想是不是可以用来证明更多类似模性提升的问题。