关于极限与函数连续性的若干问题？

tr0217

高等数学中提到一个定理
设函数 y = f [g(x)] 是由函数 y = f(u) 与函数 u = g(x)复合而成，y = f [g(x)]  在点x.的某个去心领域内有定义，若{[lim g(x) ],[x->x. ]} = u.，{[lim f(u) ],[u->u. ]} = A，且存在\delta.>0，当 x\in {[\circ ],[ U]}（x.，\delta.）时，有g(x) \neq u. 则
{[lim f[ g(x)} ],[x->x. ]}$$ = {[lim f(u) ],[u->u. ]} = A
叫复合函数的运算法则，其中特别强调了当 x\in {[\circ ],[ U]}（x.，\delta.）时，有g(x) \neq u.，（x在x.的一个去心领域内g(x)!=u.）这时为了与函数极限的定义相一致，也就时当u = u.时f(u)没有定义他的极限也是存在的
这是否排除了，g(x)是一个分段函数(分段点恰好g(x.) = u.) ，其中一段为 g(x) = u. 的常量函数时f(u) 在x -> x. 时也是有极限的情况？或这说这种情况不能用这个定理计算，而事实上用这种方法计算时可行的。
第二个关于函数连续的问题，如果函数在某一点的极限等于函数在这一点的函数值则说函数在该点连续，
函数在某一区间上连续定义为在该区间上任一点上都连续，则说函数在该区间上连续；这么一来函数连续的区间只能是开区间。
函数极限存在的条件是左极限右极限都存在，并且相等。对于闭区间端点上只可能存在一种极限，根据极限定理端点上是没有极限的，怎么说函数在闭区间种连续呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/25 09:50pm 第 1 次编辑]

下面是我对第一个问题的解答：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/30 04:19pm 第 3 次编辑]

下面是我对第二个问题的解答：
在《高等数学》中，对于函数 f(x) 在闭区间［a,b］上连续，是这样定义的：
如果 f(x) 在开区间（a,b）内连续，在闭区间的左端点 a 右连续，在闭区间的右端点 b 左连续，
则称 f(x) 在闭区间［a,b］上连续。
由此可见，对于闭区间的端点，并不要求同时有左连续和右连续，
在左端点只要求右连续，在右端点只要求左连续，就可以了。