[求助]请教老师一个关于极坐标的二重积分问题

傻瓜学者

书中对极坐标的二重积分和二重积分的变量代换做了证明。顺着书中的步骤我也看的明白了吧。可我不明白为何用最简单的直接带入发就不能证明。方法如下：（|代表积分符号）
有：|f(x,y)dxdy
把xy坐标转换为极坐标时：
x=pcosa
y=psina
（p就是rou，a就是阿尔法）
如果带入原积分式，为：
|f(pcosa,psina)d(pcosa)d(psina)
其中：
d(pcosa)d(psina)=(cosadp-psinada)(sinadp+pcosada)
=p(cosa)^2dpda-p(sina)^dpda
它并不等于pdpda呀！
我根据书上的公式查了一下，公式上用了“雅可比”公式，相比较而言，它对我上述的cosadp、-psinada、sinadp、pcosada用了二阶行列式。那结果自然就是pdpda了！
可为什么直接带入不行呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/24 10:40am 第 1 次编辑]

重积分中的 dxdy ，不能简单地看作是微分 dx 与 dy  的乘积，
而是应该看成微分向量 dx 与 dy 的“外乘积”或“外形式”。
这种“外乘积”，严格说来，应该记为 dx∧dy 。

傻瓜学者

把您的图片下载来好好研究一下！非常感谢lu老师！
另外，您所说的“外乘积”好像和“向量积”很像！然后再乘以f(x,y)（数量积），正好符合解析几何中混合积等于六面体的体积（在积分求极限中六面体变形了）

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/05/09 11:19am 第 4 次编辑]

下面引用由傻瓜学者在 2009/03/24 02:10pm 发表的内容：
把您的图片下载来好好研究一下！非常感谢lu老师！
另外，您所说的“外乘积”好像和“向量积”很像！然后再乘以f(x,y)（数量积），正好符合解析几何中混合积等于六面体的体积（在积分求极限中六面体变形了）

对，你的理解有些道理。在二重积分中，dx 与 dy 的外乘积 dx∧dy 与向量积 dx×dy 非常相似，似乎可以认为它们是相同的。
但是，在三重积分中，如果把外乘积 dx∧dy∧dz 理解为向量积 dx×dy×dz 就不对了。
因为，按照现在数学中的定义，向量积运算的结果 dx×dy 是一个与 dx,dy 都垂直的向量，再与 dz 作向量积就会等于 0 。
所以，外乘积运算的结果 dx∧dy 我觉得最好应该认为是一个“有方向的面积元”，它的模，等于 dx,dy 张成的平行四边形的面积。
dx∧dy∧dz 我觉得最好应该认为是一个“有方向的体积元”，它的模，等于 dx,dy,dz 张成的平行六面体的体积。