“整数集的划分算法”的回复，可谓言不由衷。

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“整数集的划分算法”是我于2012年7月1日，递送给“火花”的第35篇文章，这是我在9月11日胃癌手术前，所递送的最后一篇文章。我的这篇文章也是在2012年10月31日，最后被回复的：“经过审阅，来稿不属于本栏目的定位要求。”然而，我胃癌手术后的“探究杨辉纵横图的算理算法”、“传统纵横图里的奇偶阶问题”、“规则纵横图的构建原理介绍”不是全都已经发表了吗？因此，“火花”编辑组的回复，岂不是言不由衷吗？。
纵横图是整数集的划分算法里的一项重要内容，是我国古代数学里的一个瑰宝，其中的许多规律会给大家很好的启发，值得我们今天的数学家予以深入的研究。我的“高次纵横图与自然数等幂和”，是2013年11月22日递送给“火花”的，被审稿专家硬压了一年多时间，终于在2015年1月3日发表了。我国宋末时期的杨辉，首先运用他所开创的“垛积术”，给出了全体自然数的二次幂之和公式。
宋末元初时期的朱世杰，不仅发展了杨辉的“垛积术”，而且还运用他所开创的“招差术”，给出了全体自然数的三次幂之和公式。三百多年后的莱布尼茨，正是根据这个全体自然数的三次幂之和公式，创建了他的“微积分”，这是我们中国式的“微积分”，它与牛顿的西方式的“微积分”，有着明显的不同。我国清代的李善兰，则将杨辉的“垛积术”推至巅峰，他运用数表的形式，给出了全体自然数的任意次幂之和公式。西方所谓的欧拉数表，实际上就是我们的李善兰数表，这是后来的西方数学家，假借欧拉之名所剽窃的东西。我的“高次纵横图与自然数等幂和”，则是由于受到了高次纵横图的启发，所得到的全体自然数的任意次幂之和的解析公式，显然比李善兰数表，更为清晰明了。
至此，我对于我在9月11日胃癌手术前，所递送给“火花”的35篇文章的退稿意见和婉转回复，以及无理删除，已经全部曝光完毕。下面我将系统的论述，华罗庚对于中国数学的错误认识。当今中国数学所出现的种种情况，都是与华罗庚密切相关的。倪则均，2015年1月27日。


整数集的划分算法
倪则均
一，从一篇硕士论文说起
笔者前面的一些文章，主要是从结构的角度着手，环绕周期问题对整数系统作出了一些研究。从本文开始笔者打算从划分的角度，环绕组合问题对整数系统再作一点探索。因为划分组合一直都是我国古代数学的主流，值得我们深入挖掘的内容很多。
在张君达主编的《数论基础》里，其第七章“专题选讲”选择的是几篇硕士论文，如此做法不仅值得称颂，同时也让我们看到了中国数学的希望。对于其中第三篇论文“整数集的划分”的不足之处，我觉得还是应该予以指出，希望此文的作者再作深入研究，能在划分组合问题上作出更大的贡献。
此文的作者着重论证了整数集等和划分的可分性，以及等积划分的不可分性，但是却漏掉了等差划分问题。整数集的等差划分十分简单，对于一般整数集来说，似乎没有什么实际意义，因此在一般的数学书上，都不提等差划分的问题。然而，如果这个整数集是一个素数环，其意义就非比一般了，因为素数环里的等差划分，是对于素数群全体元素可以作等和划分的前题及依据。
如果m=jk，p=m+1为素数，g为其原根，那么，我们就可以将Hm素数环里的全体元素，划分成下面两组等差数列，它们的公差分别为j和k，当然，Hm素数环全体元素自身则是一个公差为1的等差数列。
0j+1，1j+1，2j+1，…，（k-1）j+1；0j+2，1j+2，2j+2，…，（k-1）j+2；…；0j+j-1，1j+j-1，2j+j-1，…，（k-1）j+j-1；0j+j，1j+j，2j+j，…，（k-1）j+j。
0k+1，1k+1，2k+1，…，（j-1）k+1；0k+2，1k+2，2k+2，…，（j-1）k+2；…；0k+k-1，1k+k-1，2k+k-1，…，（j-1）k+k-1；0k+k，1k+k，2k+k，…，（j-1）k+k。
因此，在Φp素数群的剩余方阵里，其j次剩余子群的k个元素，它们的底根集合里的j个元素，都是一个公比为gj的等比级数。按照等比级数求和公式，即可算出它们的和对于模数m+1的余数全都为0，构成一个和为0的等和划分。
同样，它们的k次剩余子群的j个元素，它们的底根集合里的k个元素，都是一个公比为gk的等比级数。按照等比级数求和公式，即可算出它们的和对于模数m+1的余数也全都为0，也构成一个和为0的等和划分。
由此可见，Hm素数环里的等差划分，是构成Φp素数群等和划分的惟一的一个原因。由于Hm素数环里的等差划分具有惟一性，因此Φp素数群等和划分也同样具有惟一性。
二，等和划分的算法
上述“整数集的划分”的作者，通过下面二个实例，给出了整数集等和划分的一套算法。显然这二个实例都是硬凑出来的，然而，作者似乎没有解释清楚这样硬凑的数学原理，更没有给出它们的诸多变化。
1   2   3   4
8   7   6   5
9  10  11  12
16  15  14  13
1   2   3   4   5
8   10   7   9  6
15  12  14  11  13
下面笔者仅指出第二个实例的数学原理，并给出它的六种变化。对于H15整数集的全体元素来说，如果按照由小到大的顺序，排列成一个3×5的矩阵，那么其每一个元素，我们都可以运用下面的，其所在行位数与所在列位数相加的形式予以表示。
0×5+1   0×5+2   0×5+3   0×5+4   0×5+5
1×5+1   1×5+2   1×5+3   1×5+4   1×5+5
2×5+1   2×5+2   2×5+3   2×5+4   2×5+5
由于1+2+…+15=120，所以每列三个数之和应该为120/5=24。又由于每列的三个行位数之和都为0+5+10=15，因此它们的三个列位数之和都应该为24-15=9。再由于任意一行的五个列位数必须含全1，2，3，4，5，从而使得其它二行的二个列位数之和应该分别为8，7，6，5，4。
要想使得其它二行的二个列位数之和分别为8，7，6，5，4，只能运用硬凑的方法，当然其中也是有其数学规律的，这就是最大的列位数5，应该作为二个大和8及7的一个加数，最小的列位数5，应该作为二个小和3及4的一个加数。
和数：8   7   6   5   4
加数：5               1
加数：    5        1   
由于其它的加数不难一一填入，因此即可得到三行列位数的排列为
1   2   3   4   5
5   2   4   1   3
3   5   2   4   1
由于这三行列位数，可以任意加入三个不同的行位数，所以H15整数集的全体元素，可以运用3×2×1=6种不同的形式，划分成为五组三个数的和都为24。
三，等积划分的问题
“整数集的划分”的作者，着重论证了等积划分的不存在性，但是他的证明似乎不够严密。其实对于一个连续自然数集合来说，如果可以作等积划分，那么根据算术基本定理，这些等积划分里的素因子及其幂应该全都相同。因此，若是可以作二个等积划分，那么原集合里的这些素因子全都应该是偶次幂。
如果pn2是这个连续自然数集合里的最大偶次幂素数，那么根据我已经推导出来的素数分布公式，可知在（pn-12，pn2）区间范围里，必定存在着许多大于pn的素数。由于这些大于pn的素数全都为一次幂，因此它们是不能作任何的等积划分的。然而在合数环里，其等积划分还是存在的，因为合数环里元素之间的运算必须符合封闭性要求，因此不管是加法运算还是乘法运算，其运算结果都必须取其模余数。
合数环里的等积划分，主要出现在奇素数的幂环里，因为它们的欧拉群都是循环群，并且奇素数的原根都是这个循环群的生成元，据此就可以构造出多种形式的等积划分。例如在Φ9欧拉群里，3的原根为2，于是就有
2×26=2×64≡2×1≡2（mod 9），22×25=4×32≡4×5≡2（mod 9），
23×24=8×16≡8×7≡2（mod 9）。
因此，2×1，4×5，8×7就是对于Φ9={1，2，4，5，7，8}欧拉群全体元素的一种等积划分。当然这样的等积划分是没有多大实际意义的。2012年7月1日