“合数环里的子群的问题”被退，仍是对于群论认识的分歧。

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“合数环里的子群的问题”，我是在2012年4月9日递送给“火花”的，算作是我的第22篇文章。7月13日收到了审稿专家的退稿意见是：“经专家审阅，认为本文表明对群的概念不够清楚，因而没有做出有学术价值的讨论。如果作者了解群的定义和基本性质，则许多事情就变得十分清楚。您的来稿不符合本栏目的要求，因此予以退稿。”
对于西方传统的群论的认识，我主要是从当今众多的“离散数学”所获得，由此得知群是一种最基本的代数系统。置换群是其基础，这种群只能定义加法或乘法一种运算方式，如果能满足五条加法公理要求的，称为加法群，若是能满足五条乘法公理要求的，称为乘法群，又称为阿贝尔群或交换群。对于仅能满足封闭性和结合律的代数系统，则称之为半群。
一般的数学书上，对于子群和循环群的概念，都是运用素数群作为实例予以解释的，然而对于不变子群和商群的的概念，似乎没有那本书可以解释清楚。其实在一般的数学书里，它们对于环和域的概念，也是运用合数环和素数域作为实例予以解释的。然而，它们却完全丢开了合数环是由素数域所构成的事实，硬是糊说域是所有代数系统的最高形式。
我则认为素数域是一种最基本的代数系统，只有合数环才是所有代数系统的最高形式，群根本不是一种代数系统，它实际上是对于素数域和合数环全体元素，所作的一种分类而已。对于一个基本合数环来说，如果其模是n个素因子的积，那么它就会有2 n个不同的因子数，生成2 n个不同的构造子群。其实，这2 n个不同的构造子群，全都可以满足五条公理要求的，但是它们的乘法单位元是各不相同的，只有其中的欧拉群的乘法单位元才是1。
在Hp素数域里，由于只有1和p两个因子数，因此它们只有两个不同的构造子群。一个是只有一个元素p的模数群，另一个则是包含其它p-1个元素的欧拉群，这个欧拉群专门称之为素数群，这就是我研究素数域和合数环的基础。对于素数群的模运算，则定义为所有的加减乘除乘方及开方六种最基本的常规运算。倪则均，2015年1月16日。

合数环里的子群的问题
倪则均
一，对应于二个平凡因子数的子群
对于0阶子环1Hm来说，除了从0阶因子数1与Hm的积得到之外，还存在着其它的许多元素，它们与Hm的积同样也是0阶子环1Hm，这样的元素集合就是大家所熟悉的Φm欧拉群。严格的讲这个Φm欧拉群，应该称之为0阶因子群才对。0阶因子群里的元素，是Hm合数环里仅含0阶因子数1，不含其它因子数的元素的集合，因此，这个群里的每一个元素都与模数m互素。
如果φi和φj是这个群里的二个元素，那么它们的积φiφj=φk，由于仍然与模数m互素，所以还是这个群里的一个元素，即满足封闭性要求。从而使得这个群里的每一个元素，对于Φm欧拉群全体元素的积集，仍是Φm欧拉群的全体元素，即有φiΦm=Φm，对于置换群来说称之为群元的重置。
在绝大部分的Φm欧拉群里，其全体元素的数量，都是远远大于其元素的最大周期的，因此这些Φm欧拉群全都不是循环群，以其全体元素为底数的各次剩余，不能构成一个剩余方阵。当然，还是存在着一种特殊的例外情况，那就是只有在H2p（p为奇素数）合数环里，它们的Φ2p欧拉群才能是循环群，才能构成一个剩余方阵。例如在H14合数环里，它的六个欧拉数的1至6次方，就构成以下一个剩余方阵：



方次
1   2   3   4   5   6
————————————
1   1   1   1   1   1
3   9   13  11  5   1
5   11  13   9  3   1
9   11   1   9  11  1
11   9   1  11  9   1
13   1   13  1  13  1
另一个平凡因子数m所对应的一个子群，是只有一个元素的k阶子群，表示为mΦm={m}。mHm={m}也是只有一个元素的k阶子环，但是它们的含义是完全不同的，mHm={m}子环是Hm合数环里，所有含有平凡因子数m的元素集合，而mΦm={m}子群则是Hm合数环里，仅仅含有平凡因子数m的元素集合。
二，推导欧拉函数的问题
Φm欧拉群里的元素数量，称为欧拉函数表示为φ（m）。运用莫比乌斯函数反演推导欧拉函数，是西方数学的传统方法，他们将Möbius函数μ（n）定义为：μ（1）=1；当n能被素数的平方整除时，μ（n）=0；当n能表为相异的r个素数之积时，μ（n）=（-1）r。
至于莫比乌斯函数的实质内容，似乎谁也说不清楚，显得有些玄虚。张君达的《数论基础》则完全撇开了莫比乌斯函数，运用既约剩余系的方法，同样也推导出了欧拉函数，这是一个很好的尝试，只是整个推导过程中，似乎还有个别地方，显得不够严密而已。
前面我们已经指出，运用同余式组推算欧拉函数最为简捷，但是却较难一并具体得到Φm欧拉群里的全体元素。然而，由于我们已经掌握了Hm基本合数环里，其各阶子环之间的特性规律，因此我们就可以下面的方法，既可以具体得到Φm欧拉群里的全体元素，又可以一并得到其欧拉函数的计算公式。
我们首先从0阶子环里，去除掉全体1阶子环。由于这样的去除，实际上是对全体2阶子环作了一次重复去除。当我们增补上2阶子环之后，又对全体3阶子环作了一次重复增补。如此不断的去除增补下去，最后得到的就是Φm欧拉群里的全体元素。整个去除——增补过程的数量关系，就是以下欧拉函数计算公式的展开式：
φ（m）=m（p1-1）（p2-1）…（pk-1）/m
对于HM横向扩张环来说，这个公式同样适用，因为其0阶子环为HM横向扩张环，去除掉全体1阶子环的同时，所有含元素因子幂的元素，都会一并去除，而且随后不会发生因子幂子环的增补问题，因此HM横向扩张环的欧拉函数计算公式为
φ（M）=M（p1-1）（p2-1）…（pk-1）/m。
三，对应于众多非凡因子数的子群
对应于非凡因子数的子群的数量十分众多，它们所含有的元素的总量也是较多，因此，如果忽视了它们的存在，不去深入研究它们，就不可能取得对于合数环全面完整的认识。然而，以往似乎从未有人认真去研究过它们，对于它们的认识至今好象还是一片空白。
如果di是Dm因子数集合里的一个非凡因子数，它与Hm合数环全体元素的积集diHm，是Hm合数环里所有含有di因子数的元素的子环，那么，另外还有一些什么样的数，它们与Hm合数环全体元素的积集也是diHm子环呢？显然，如果φi是Φm欧拉群里的一个欧拉数，那么它与di的积diφi，与Hm合数环全体元素的积集，由于φiHm=Hm，diφiHm=diHm，则必定也是diHm子环。
因此，diHm子环的生成子群，为非凡因子数di与Φm欧拉群全体元素的积集diΦm，这是一个仅含非凡因子数di和0阶平凡因子数1，不含Dm因子数集合里的其它因子数的元素的子群，从而使得它与其它非凡子群，以及二个平凡子群之间的交全都为空，即有
diΦm∩djΦm=φ（di≠dj），diΦm∩Φm=φ，diΦm∩mΦm=φ。
为了证明diΦm非凡子群里的元素的数量为φ（m/di），我们将Φm/di欧拉群里的元素表示为φi＇，那么下列di个数中，必定有一个可以被di整除，这个可以被di整除的数，就是diΦm非凡子群里的元素，由于Φm/di欧拉群里的元素的数量为φ（m/di），所以diΦm非凡子群里的元素的数量也为φ（m/di）。
φi＇，φi＇+ m/di，φi＇+2m/di，…，φi＇+（di-1）m/di。
由于diΦm非凡子群里的元素都是正整数，所以它们之间的乘法运算，可以满足结合律和交换律。由于φiΦm=Φm，diφiΦm=diΦm，因此它们之间的乘法运算，具有封闭性。但是它们的单位元不是1，那么它们的单位元到底为什么数？为了便于解释起见，不妨令di=p1，设a=〈0，a2，…，ak〉为其一个元素，t2，…，tk为a2，…，ak在各个素数域里的周期数。
那么，a的周期为t=[t2，…，tk]，a的最大周期为tmax=[p2-1，…，pk-1]，显然其单位元为a＇=〈0，1，…，1〉。如果b2c2≡1（mod p2），…，bkck≡1（mod pk），那么b=〈0，b2，…，bk〉和c=〈0，c2，…，ck〉，就是p1Φm子群里的二个乘法互逆元素。因此，在p1Φm子群里，全体元素之间的乘法运算，是完全可以满足5条公理要求的。特别需要指出的是，公理只要求必须要有单位元，但是并没有严格规定单位元必须是1。2012年4月9日。