最新消息之三，火花对于《探究表素数为三平方和问题》的回复。

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《探究表素数为三平方和问题》，我是在2013年12月27日递送的，前天终于收到了回复，其内容为：“谢谢作者积极投稿！作者连续投来的几篇文章中，都对冯克勤先生的论著作了评议。本栏目经审阅后，建议作者直接向冯先生投书提出自己的论述。”显然，火花没有找到此文存在什么错误，否则就是退稿的问题了。然而，火花似乎仍是不敢发表此文，因为此文不仅涉及到高斯，而且还涉及到了他的《算术研究》——当今数论的基础。
由于“表素数为两平方和的唯一性”的再次退稿，引发了我与审稿专家之间的，一场十分激烈的暗战。“探讨表素数为两平方和的问题”的发表，应该标志着审稿专家对于这个问题的认同，从而使得“探究表素数为四平方和的问题”也能顺利发表。其实这两个问题都不复杂，只是晦涩难懂而已。然而，《探究表素数为三平方和问题》的情况有所不同，这个问题不仅被高斯搞得十分晦涩难懂，而且，又被搅得极其繁琐复杂。
我们研究数学是为了能够解决实际问题，因此我们只能研究那些具有规律性的数学内容，那些不具有规律性的数学内容只能属于数字游戏的范畴。一个素数p是可以表示为p=x2+y2+z2形式的，例如，59=12+32+72，131=12+32+112，……显然，这是一些没有规律的素数，当然，比尔猜想也是一个没有规律的东西，没有什么研究的价值，你只要运用电子计算机，一个反例总会找到，这种数字游戏，在幻方之中大量存在。然而，p=2x2+y2，则是所有p=2k+1（k=4j+1）形素数的统一规律。
希望我们的“民科”不要再搞内斗，希望我们的“官科”能与“民科”团结一致，为解决《算术研究》和《群论》中的诸多错误而共同努力。当然，我们在推翻错误理论的同时，还要尽快的建立起一套完全崭新的理论体系。我原本年事已高，前年又割去了五分之四的胃，看来我是等不到这一天的。李冶弥留之际曾对其子说：“吾平生著述，死后可尽燔去，独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者。庶可布广垂永乎？”我有同感，又能对谁去说！？倪则均，2015年1月8日。

探究表素数为三平方和问题
倪则均
1，高斯的离奇论证。
冯克勤的《平方和》，首先介绍了高斯对于平方和问题的论证。如果说高斯对于二平方和问题的论证，只是有点儿离奇，那么高斯对于三平方和问题的论证，则完全是超级离奇了。笔者所说的离奇论证，是指原本非常简单的问题，被人为的搅得异常繁琐复杂，原本十分浅显的道理，被人为的搞得那么晦涩难懂。
对于三平方和问题，高斯所给出的定理是：正整数n不为三平方和的充分必要条件是n可表为4a（8b+7）的形式，其中a和b为任意非负整数。这个定理提得比较拗，已经不大好懂，其意应该是说，只要在n的素因子里，没有2v-1（v为奇数）形数的4k-1形素数，它就一定可以表示为三个数的平方和。
这个定理可谓是眉毛胡子一把抓，它将已经解决了的所有的二平方和数，即全体的4k+1形素数，以及2的各次幂也一起包括了进去，由此开始将这个问题逐步予以复杂化。简洁的证明应该是也一并撇开所有的二平方和数，只要单独证明所有2v+1（v为奇数）形数的p=4k-1形素因子，一定可以表示为三个数的平方和。
由于这些4k-1形素数中的k为2b+1形奇数，所以这些4k-1形素数的正形，可以为8b+3形素数。其实，如果将这些4k-1形素数的正形，表示为2k1+1形素数似乎更好一些，其中的k1为一个4b+1形奇数。因为只有这样的表示，才能便于推导、论述、证明这类素数的特性规律。如果其中的k1为一个4b-1形奇数，那么上述2k1+1形素数，又可以表示为8b-1形素数，它们只能表示为四个数的平方和。
其实，对于上述p=8b+3形素数来说，它们所表示的三个数的平方和之中，必定有两个平方数是完全相同的，因此可以将这些p=8b+3形素数表示为p=2x2+y2。如果p1=2A2+B2，p2=2a2+b2，则有下面的三平方和恒等式。显然，三平方和具有与二平方和完全相似的性质，它们同样也有存在性，唯一性和可算性问题。
p1p2=（2A2+B2）（2a2+b2）=2（Ab+aB）2+（2Aa-Bb）2=2（Ab+aB）2+（2Aa-Bb）2
高斯对于上述定理的证明，运用的是与代数学密切相关的二次型，从而将问题不仅搞得更其繁琐复杂，而且还弄得极其晦涩难懂，冯克勤花了上万字，似乎还没有解释清楚其中的道理。其实，平方和问题只是与合数环，素数群及其原根密切相关的问题，跟二元二次型，乃至三元二次型似乎没有多大关系。
笔者对于这位数学王子，总觉得有些莫名其妙。素数的原根是高斯首先引进的，然而，却从未看到他运用功能强大的原根原理，去解决什么重要问题。合数环里的欧拉函数和，是高斯首先发现的，它反映了合数环的整体结构状况，却没有再作更进一步的深入。对于二次剩余互反律的局部问题，却不厌其烦地，一而再，再而三的反复证明。
2，2v+1（v为奇数）形数的素因子。
为什么所有2v+1（v为奇数）形数的4k-1形素因子，全部都是p=2k+1形素数，其中k为4b+1形奇数？为什么这类p=2k+1形素数，全都可以表示为p=2x2+y2形式？只要首先论证清楚了这两个问题，尔后方可具体证明三平方和的存在性问题。下面不妨先从2 v+1（v为奇数）形数的分解着手展开，当v为pq二个奇素数的乘积时，则有下面两种不同的分解形式：
（2p）q+1=（2+1）（2p-1-2p-2+…-2+1）[（2p）q-1-（2p）q-2+…-（2p）+1]
（2q）p+1=（2+1）（2q-1-2q-2+…-2+1）[（2q）p-1-（2q）p-2+…-（2q）+1]
其中[（2p）q-1-（2p）q-2+…-（2p）+1]/（2q-1-2q-2+…-2+1）
=[（2q）p-1-（2q）p-2+…-（2q）+1]/（2p-1-2p-2+…-2+1）
由此可见，3是所有2v+1（v为奇数）形数的公因子，它是一个p=2k+1形素数。其中的（2p-1-2p-2+…-2+1）和（2q-1-2q-2+…-2+1）如果是素数，也是二个p=2k+1形素数。若是（2p-1-2p-2+…-2+1）和（2q-1-2q-2+…-2+1）还可以作同周期分解，那么它只能分解成奇数个p=2k+1形素数与若干个4k+1形素数的积。
[（2p）q-1-（2p）q-2+…-（2p）+1]/（2q-1-2 q-2+…-2+1）和[（2q）p-1-（2q）p-2+…-（2q）+1]/（2p-1-2p-2+…-2+1），是对2的周期为2pq的数的一种隐性表示。这两个运用2的幂所表示的多项式的分式，是不能相除的，但是它们所表示的数却是可以整除的，其商必定也是一个p=2k+1形素数。例如：
（25）3+1=（2+1）（24-23+22-2+1）[（25）2-（25）+1]
（23）5+1=（2+1）（22-2+1）[（23）4-（23）3+（23）2-（23）+1]
其中的[（25）2-（25）+1]/（22-2+1），[（23）4-（23）3+（23）2-（23）+1]/（24-23+22-2+1）是除不出来的，然而它们的实际数值为993/3=3641/11=331。
3，三平方和的证明。
由于可以将2v+1=n（v为奇数）形数，变化为2v≡-1，22v≡1（modn），所以2在Hn合数环里的周期为2v，2v是一个单偶数。由于Hn合数环里的2的周期，是各个Hp分环里的2的周期的最小公倍数，因此各个Hp分环里的2的周期，必定也是单偶数，从而使得2在这些Hp分环里都不是二次剩余。如果g是p=2k+1（k为4b+1形奇数）形素数的原根，那么在Φp素数群里就有：
gr+gk+r=g r（1+gk）=np≡0，g2r+grgk+r=n0p≡0（mod p）。
由于2是一个非二次剩余，则有2≡gj（modp），j为奇数。因此上式可以转换为：
g2r+2gk-j+2r=n1p≡0（mod p）。若令gk-j+2r≡x2，g2r≡y2（modp），即有2x2+y2=mp。
对于Hmp合数环来说，它的种种特性规律，都是由Hm分环和Hp分环的种种特性规律，通过mp个同余式组传递过来的。只有当m与p互素时，它们的mp个同余式组〈a1，a2〉，与Hmp合数环里的mp个元素，才能形成一一等同的关系。其中的第一分量a1是Hm分环里的元素，第二分量a2是Hp分环里的元素。因此，对于2x2+y2=mp来说，必定先有x=〈x1，x2〉，y=〈y1，y2〉。由此得到
x2=〈x12，x22〉，y2=〈y12，y22〉，2x2+y2=mp，〈2x12+y12=m，2x22+y22=p〉
其中的2x22+y22=p，也可以运用上面的恒等式予以证明。既然在Hmp合数环里已有2x2+y2=mp，那么在Hm分环和Hp分环里，就必定也有2x12+y12=m和2x22+y22=p，否则Hmp合数环里的2x2+y2=mp就不能成立。那么其中的2x22+y22=p又该如何得到呢？其实，只要将Φp素数群里的二个加法互逆元素相乘，其中必定存在一对y2和p-y2，其积为y2（p-y2）≡2x22（mod p），于是就有了2x22+y22=p。例如，211+1=3×683，683是一个8b+3形素数，其中就有21×（683-21）=13902=20×683+242≡2×112（mod 683），即有212+2×112=683。

maoguicheng

楼主：比尔猜想是没有反例存在的，这说明你还没有研究过比尔猜想。

红树

国外投稿试试看能不能发表？