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[这个贴子最后由四维世界在 2008/01/12 06:56pm 第 6 次编辑]
哥德巴赫猜想的意思是，任意一个大于2的偶数，可以表示为两个素数之和
以下我用一种比较特殊的数学归纳法试图证明哥德巴赫猜想
先证明一个定理，这个定理比哥德巴赫猜想更简单些，如果这个定理证明成功了，用数学归纳法就可以证明哥德巴赫猜想了
证明：在一般的情况下，任何一个大于2的偶数，可以表示为与任意一个合数相互质的两个数的和，或者是两个质数的和
先证明一个引理1：当Y1=AX1+BX2,Y2=AX1-BX2若A,X1与X2互质，而B,X2与X1互质，那么
Y1,Y2 与X1,X2互质，与X1X2 互质
这个定理不证自明
设某个大于2的偶数T,T/2具有K1,K2,K3....KN几个因子，另有一个合数H ,具有J1,J2,J3,J4......JK这几个因子
先要证明当T<H 时，T可以表示为与H 互质的数的和，或者两个质数的和，或者一个质数与一个与H 互质的数的和
1，当T 的因子与H 的因子完全不相等的时候
T=T/2+T/2 满足定理1
2，当T/2 和K有相同因子K1=J1.K2=J2,K3=J3等M个相同因子
T=A+B
A=T/2-F
B=T/2+F
F为一个与K1,K2,K3都互质的数，或者表示为F=K1K2K3+H,H 与K1K2K3互质
可以知道此时候，A,B 与k1,k2,k3互质
问题在于此时候的A和B可能有J4,J5,J6.....JK的因子
当A或者B有J4的因子的时候，我们知道A1=T/2-F1,B=T/2+F1只要此时候F-F1不是J4 的整数倍就可以了,不满足条件的F 的数目小于等于小于T/2的J4 的倍数的个数
同样当A含有J5的因子的时候，我们知道A2=T/2-F2,B2=T/2+F2,只要F2-F不是J5 的整数倍就可以了，这样的不满足条件的F2的数目小于等于小于T/2的J5 的倍数
同样的我们可以知道A3,A4,A5，B3,B4,B5等等不包含着J6,J7,J8的因子的条件，可以知道相应的使得A 不为J6,J7,J8.......,JN的F 的数目
实际上，不满足条件的F的数目就是小于等于小于T/2的J1，J2，J3，J4，J5，J6...JK的所有的倍数的个数，这个总个数总是小于T/2的
也就是说总是可以找出一个F 来，能够使得A,B 与H 的所有的质数因子互质
3,当T/2等于H中的一个因子KC时 T=JC+JC
即当T<H 时 T=A+B
其中有二种可能（1）A,B与H互质
（2）T=KC+KC KC 为H 的一个质因子，当然也为T 的质因子
定理1 得证
（二）
所谓的质数，即除了与自己以及与自己的倍数以外，都互质的数
先证明这样的一个引理
若PN=K(N-1)KN，那么在[1,PN}范围内，若一个数与PN互质,并且与小于KN的所有质数互质，那么这个数就是质数
另外设TN=K1K2K3K4......KN等等由小到大排列
可知K1=2,K2=3,K3=5,K4=7,K5=11,K6=13,K7=17等等
因为当在【1，PN]范围内的数a，若它大于KN,它要是合数的话，必然的它需要有一个约数为一个小于等于KN的质数，因为这个数已经是与TN互质的，所以，它不可能有K的约数，它只能是质数
现在要证明：在[1,PN ]中的任何一个偶数可以表示成为，K1,K2,K3,K4,K5,K6,K7.....以及其它的与TN互质的数（即为另外的可能的质数)中的其中两个数的和(即另外一个质数之和）
用数学归纳法，假定在[1，PN]区间内哥德巴赫猜想成立，要证明在[1,P(N+1)]区间内哥德巴赫猜想成立--（-注：因为计算机上表示不方便，N和N+1 都应该为下标）
在[PN,P(N+1)]范围内中的一个数a,因为它远大于K(N+1)
只要证明，a可以表示为K1,K2,K3.......K(N+1)以及小于P(N+1)的其他的质数（即一个与T(N+1)互质的数）中间的两个数的和
而根据定理2，以上论断天然的成立
因此，根据数学归纳法可以得知，哥德巴赫猜想得证
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发表于 2008-1-10 14:12
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发表于 2008-4-7 18:05