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潜在的哥猜反例
求证 (1+X)ˆn≥1+nX,值域。
证:
1. 1≤X, n=1,2,3,,,
设 1+X=Y
则 Yˆn≥1+n(Y-1)=Y-(n-1)
因为 Yˆn≥nY≥Y+n, Y>1,n>1 (几何级数大于积数,积数大于和数)
Y+n>Y-(n-1),
所以 Yˆn≥Y+n>Y-(n-1)
即 (1+X)ˆn≥1+nX. X=1,2,3,,,;n=1,2,3,,,【1,∞】
证毕。
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2.若 0≤X≤1
令 X=1/Y, Y≥1.
则:
(1)f(y)=(1+1/Y)ˆn, 当n=1,2,3,,,;Y=1,2,3,,,
即 (1+1/n)ˆn= e
(2) f(x)=1+n/Y =(Y+n)/Y
令 (1+X)ˆn≥1+nX↔ e≥(Y+n)/Y
即 (3) eY≥Y+n
解不等式:
eY-Y≥n
Y(e-1)≥n
Y≥n/(e-1)
即 X=1/Y≤(e-1)/n
当 0≤X≤(e-1)/n, n≥2.
(1+X)ˆn≥1+nX成立。
证毕。
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验证:
1.X=0, n=1,2,3,,,
左边=1,右边=1
2.X=(e-1)/n, n=1,2,3,,,
1) n=1,X=(e-1)/1=e-1
左边=1+e-1=e
右边=1+(e-1)=e
左边=右边
2) n=2, X=(e-1)/2<1
左边=[(1+(e-1)/2]²={(e+1)/2]²≈3.4>e
右边=1+2(e-1)/2=e
左边>右边
3)n=3, X=(e-1)/3<1
左边=[1+(e-1)/3]³=[(e+2)/3]³≈3.8>e
右边=1+3(e-1)/3=e
左边>右边
4) 显然当 n=i时 (e-1)/i﹤﹤﹤1,
而 [(1+(e-1)/i]ˆi=[(e+i-1)/i]ˆi≥e
验证完毕。
欢迎广大网友批评指教。
注:以上证明的指导思想即理论根据都是《中华单位论》关于0单位,基本单位,单位,分数单位的定义来证明的!
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