一个数列的通项式，据说难倒英雄汉

sdlsd

cgl_74 发表于 2023-8-25 06:56
如果补充楼主给出的条件：x>0, y>=0，那么5式对应的特征方程有2个不同实根，其通项公式能比较容易做出来 ...

感谢您的解析，如果y1=L/n。L是常数，n（数列的序号）是1～∝的自然数，这个题就变成了求极限的问题了

sdlsd

王守恩 发表于 2023-8-25 07:35
每一行的和都是"兔子数列"。每一列都是"杨辉三角"中的列。

{1},

感谢，请参考上楼

王守恩

每一行的和都是"兔子数列"。每一列都是"杨辉三角"中的列。

1. Cn:Table[(n+k)!/((2k)!(n-k)!),{n,0,9},{k,0,n}]//TableForm

复制代码

{1},
{1, 1},
{1, 3, 1},
{1, 6, 5, 1},
{1, 10, 15, 7, 1},
{1, 15, 35, 28, 9, 1},
{1, 21, 70, 84, 45, 11, 1},
{1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1},
{1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1},
{1, 45, 330, 924, 1287, 1001, 455, 120, 17, 1}

1. An:Table[(n+k)!/((2k)!(n-k)!),{n,1,9},{k,0,n}]//TableForm

复制代码

{1, 1},
{1, 3, 1},
{1, 6, 5, 1},
{1, 10, 15, 7, 1},
{1, 15, 35, 28, 9, 1},
{1, 21, 70, 84, 45, 11, 1},
{1, 28, 126, 210, 165, 66, 13, 1},
{1, 36, 210, 462, 495, 286, 91, 15, 1},
{1, 45, 330, 924, 1287, 1001, 455, 120, 17, 1}}]

1. Dn:Table[(n+k+1)!/((2k+1)!(n-k)!),{n,0,9},{k,0,n}]//TableForm

复制代码

{1},
{2, 1},
{3, 4, 1},
{4, 10, 6, 1},
{5, 20, 21, 8, 1},
{6, 35, 56, 36, 10, 1},
{7, 56, 126, 120, 55, 12, 1},
{8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1},
{9, 120, 462, 792, 715, 364, 105, 16, 1},
{10,165, 792, 1716, 2002, 1365, 560, 136, 18, 1}}]

1. Bn:Table[(n+k+1)!/((2k+1)!(n-k)!),{n,1,9},{k,0,n}]//TableForm

复制代码

{2, 1},
{3, 4, 1},
{4, 10, 6, 1},
{5, 20, 21, 8, 1},
{6, 35, 56, 36, 10, 1},
{7, 56, 126, 120, 55, 12, 1},
{8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1},
{9, 120, 462, 792, 715, 364, 105, 16, 1},
{10,165, 792, 1716, 2002, 1365, 560, 136, 18, 1}

1. Cn:Table[Sum[(n+k)!y^k/((2k)!(n-k)!x^k),{k,0,n}],{n,0,9}]//TableForm
   
2. An:Table[Sum[(n+k)!y^k/((2k)!(n-k)!x^(k-1)),{k,0,n}],{n,1,9}]//TableForm
   
3. Dn:Table[Sum[(n+k+1)!y^k/((2 k+1)!(n-k)!x^k),{k,0,n}],{n,0,9}]//TableForm
   
4. Bn:Table[Sum[(n+k+1)!y^(k+1)/((2k+1)!(n-k)!x^k),{k,0,n}],{n,1,9}]//TableForm

复制代码

这手工一个一个一个一个敲出来,我可不敢！

Treenewbee

Treenewbee 发表于 2023-8-25 04:10
\[\frac{y}{x}+1\\
\frac{y^2}{x^2}+\frac{3 y}{x}+1\\
\frac{y^3}{x^3}+\frac{5 y^2}{x^2}+\frac{6  ...

为嘛非得手工一个个敲？

sdlsd

Treenewbee 发表于 2023-8-25 13:17
为嘛非得手工一个个敲？

同问啊？
这个题真的有那么难吗？

Treenewbee

sdlsd 发表于 2023-8-26 00:05
同问啊？
这个题真的有那么难吗？

1）Ai=A(i-1)+B(i-1)   
（如A2=x+y）
2)  Ci=Ai/x   
（如C2=1+x/y）
3)  Di=Ci+D(i-1)
   （如D2=1+x/y+1=2+x/y）
4)  Bi=Di*y
   （如B2=2x+x×x/y）
推导也不是很麻烦，如：

(2),(4)带入(1):C(i)-c(i-1)=y/xD(i-1)
故C(i+1)-C(i)=y/x D(i)
两式相减，得：C(i+1)-2C(i)+C(i-1)=y/x*C(i)
即： C(i+1)=(2+y/x)C(i)-C(i-1)

王守恩

An得这样写(只出现x与t),t=y/x。

1. Table[Sum[((n + k)! x t^k)/((2 k)! (n - k)!), {k, 0, n}], {n, 1, 9}]

复制代码

\(x+t x\)
\(x+3 t x + t^2 x\)
\(x + 6 t x + 5 t^2 x + t^3 x\)
\(x + 10 t x + 15 t^2 x + 7 t^3 x + t^4 x\)
\(x + 15 t x + 35 t^2 x + 28 t^3 x + 9 t^4 x + t^5 x\)
\(x + 21 t x + 70 t^2 x + 84 t^3 x + 45 t^4 x + 11 t^5 x + t^6 x\)
\(x + 28 t x + 126 t^2 x + 210 t^3 x + 165 t^4 x + 66 t^5 x + 13 t^6 x + t^7 x\)
\(x + 36 t x + 210 t^2 x + 462 t^3 x + 495 t^4 x + 286 t^5 x + 91 t^6 x + 15 t^7 x + t^8 x\)
\(x + 45 t x + 330 t^2 x + 924 t^3 x + 1287 t^4 x + 1001 t^5 x +455t^6x+120t^7x+17t^8x+t^9x\)

连这个电脑也不能自动出来！更别说分数了！

Treenewbee

Treenewbee

1. Table[Sum[x*Binomial[n+k,2k]*(y/x)^k,{k,0,n}],{n,20}]//TableForm

复制代码

sdlsd

王守恩 发表于 2023-8-26 11:39
An得这样写(只出现x与t),t=y/x。

\(x+t x\)

有一个疑问，这种求极限应该是很难很难的了