熊一兵：拉曼纽扬系数，Srinivasa Ramanujan：拉马努金 = 拉曼纽扬
本帖最后由 njzz_yy 于 2019-8-11 17:37 编辑百度百科：斯里尼瓦瑟·拉马努金
斯里尼瓦瑟·拉马努金（泰米尔语）又译拉马努詹，1887年12月22日－1920年4月26日）是印度历史上最著名的数学家之一。他没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。惯以直觉（或者是跳步）导出公式，不喜作证明（事后往往证明他是对的）。他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。1997年，《拉马努金期刊》（Ramanujan Journal）创刊，用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文
中文名 斯里尼瓦瑟·拉马努金
外文名 Srinivasa Ramanujan
别 名 拉马努詹
国 籍 印度
出生地 泰米尔纳德邦的埃罗德
出生日期 1887年12月22日
逝世日期 1920年4月26日
职 业 数学家
信 仰 印度教
主要成就 英国皇家学会会员
新浪微博：chris的博客
印度天才数学家拉曼纽扬的故事Aiyangar Ramanujan
这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事来说明数论学者与自然数的“情谊”，这位泰戈尔的同胞来自印度最南端的泰米尔纳
德邦，是个贫穷的办事员，从没有受过高等教育，但他具有快速并且深刻地看出复杂的数的关系的惊人才华。
著名的英国数学家G·H·哈代在1913年“发现”了他，并于次年把他邀请到英国，入剑桥大学。哈代有一次去探望病中的拉曼纽扬时对他讲，自己刚才乘坐的出租汽车车号1729似乎没有什么意义，但愿它不是一个不祥的预兆。拉曼纽扬却回答:“不，这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和的最小的数(既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次方)。哈代又问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉曼纽扬想了想，回答说:“这个数很大，答案是635318657。”(既等于59的四次方加上158的四次方，又等于133的四次方加上134的四次方)。
貌似印度这个民族对于数学的某些方面有着类似禅宗的顿悟——但也仅限于顿悟而忽略了其中很多逻辑。
有篇文章貌似如是说。
拉曼纽扬，印度数学家。没受过正规的高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整数分拆。惯以直觉(或者是跳步)导出公式，不喜作证明(事后往往证明他是对的)。他留下的那些没有证明的公式，引发了后来的大量研究。
拉曼纽扬(也叫拉马努金)是个伟大的数学家，是印度在过去一千年中所出的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑，在他死后70多年。他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。
客官看到了，一个人两个中文译法，
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=346260
重生888@: 拉曼纽扬系数与吴代业系数比较
拉曼纽扬系数没有吴代业系数简单好用。拉曼纽扬系数要分解质因数，确定素数个数，且分前后大小；连乘积之复杂，难度可想而知！吴代业四个系数：5/35/65/45/8，一目了然，简单至极！两厢效果如何呢？感谢愚工先生提供了100000至100060个连续偶数的哈-李公式（单计）计算数据，下面进行比较：
偶数素数对真值 哈-李公式（单计）计算值 吴代业公式计算值
G(100000) = 810 664 628
G(100002) = 1423 1195 943
G(100004) = 627 522 471
G(100006) = 630 515 471
G(100008) = 1209 998 943
G(100010) = 831 678 628
G(100012) = 681 553 471
G(100014) = 1235 1014 943
G(100016) = 772 646 628
G(100018) = 635 510 471
G(100020) = 1602 1329 1258
G(100022) = 674 543 471
G(100024) = 599 498 471
G(100026) = 1232 996 943
G(100028) = 627 531 471
G(100030) = 972 797 628
G(100032) = 1212 998 943
G(100034) = 670 553 471
.......待续
从以上19个连续偶数来看，吴比哈-李计算值小 哈-李比真值小；波动趋势一致！
http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=18322&extra=&page=2
大傻8888888:首先需要说明的是P<N应当是p≤√N。
Π(p≤√N)=Π[(p-1)/(p-2)]Π （2∣N，p∣N）;
上面式子里后一个 Π就是著名的拉曼纽扬系数。
至于Π[(p-1)/(p-2)]是因为在D(N)主值里都是按照（1-2/p)计算的，因为p∣N，所以应该按照（1-1/p)计算，这就需要乘上[(p-1)/(p-2)]。计算如下：
[(p-1)/(p-2)]（1-2/p)=[(p-1)/(p-2)][(p-2)/p]=[(p-1)/p)]=（1-1/p)
就是这么简单。
-=-=-=-=- 以下内容由 大傻8888888 在时添加 -=-=-=-=-
另外p还应该是奇素数。 大傻8888888:给出了拉曼纽扬系数定义：
拉曼纽扬系数=Π 在不知情的情况下，可以那样理解吴代业的4个系数，实际当有一天真正理解了哈代公式，就觉得这种说法有些可笑，因为吴代业的4个系数只是局限于素数2,3,5的基础上，把偶数分成15类，这15类偶数分别对应着吴代业的4个系数之一，吴代业的4个系数与哈代公式中的系数一样，也需要不同因子的划分，他的只是哈代公式系数的不完全反应，当去掉大于素数5的素数因子的影响就成了吴代业的4个系数，他的系数在大范围内反例众多，系数大的位置可能还不如系数小的位置上的偶数素数对多，还有一个致命的问题，4个系数并不能很好的反应偶数素数对的数值，不是指精确度，是说4个系数错误，因为系数*对应的类目数之和不等于30（即没有把素数对完全分配完，这就好比17头牛的故事），如果4个系数正确的情况下，不用在个体上，而用在偶数类上，则系数值是可以无限制的逼近极限1的，就是说理论值与实际值可以达到完美吻合。 吴代业的组合法分析哥德巴赫猜想是一种很好的方法，只不过他用了所谓的重复组合，把真实的有效的组合方法给去掉了（还有一个重要的问题，这里只表示组合方法，并没有考虑是合数或是素数，虽然用的8类数是素数，但是不代表所有加30m的数还是素数，所以大于30的数中8类数并非全部是素数，这是组合方法与实际素数对的根本区别），如果能正确认识，把8类数，按照8卦组合方式，在分析偶数类对应的组合方法数就会得到与实际数据相同的结论。他的方法始终有局限性，对于大偶数来说，误差太大，远没有哈代公式精确。
他一直在宣传他的4个系数优越于哈代公式，不做比较，不知道差距，以比较，就可以看出来，精确度不比哈代公式（不用愚工88888的t1或k的修正系数，直接用哈代公式，取偶数的所有不同因数）。
吴代业的4个系数出了简单的优势，其它方面都没有优势。 本帖最后由 愚工688 于 2019-7-10 14:10 编辑
广东汕头的陈君佐老师给出的拉曼纽扬系数C（N）计算方法：
(一）拉曼纽扬系数C（N）=C2A（N）*C2B（N）。
(二）C2A（N）= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
(三）C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]
哈代、赛尔贝格、王元、潘承洞、陈景润、华罗庚、与我（陈君佐）给出的诸多公式，都使用拉曼纽扬系数C（N），说明拉曼纽扬系数的重要性。
（二）C2A（N）的作用是什么呢？
答：C2A（N）随着N的增大而减小。最终取极值班“0.6601738”——（ 注：实际运行程序会发现，极值是0.6601667，因此这里是陈笔误。）
（三）. 我的ZUO（N）~C（N）*PI（N）^2/N,------PI（N）是N以内的素数个数，-------PI（N）^2是N以内的素数个数的平方。
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以上摘录于我与陈的交流贴。
我在《基于偶数哥猜哈-李素对计算公式改进的偶数素对计算式 Xi(M)≈ t1*c1*M/(logM)^2》
的计算式中的C1，是对 拉曼纽扬系数C（N）的改进：
C1(M)=C2A(M)× C2B(M),
式中：C2A(M)= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，√M以内的全部素数]—— 即使计算√M以内的全部素数，也很快趋于极值，有必要计算M内的全部素数吗？
C2B(M)= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除M的全部√M内的素数]—— 素数对的筛选，只使用√M内的素数，有必要计算√M外的素因子吗？
在大偶数的计算中，改进后的C1(M)与拉曼纽扬系数C（N）值变动很小，偶数不含大于√M的因子时则相同，但是程序运行时间将大幅度减小。
( t1=1.358-log(M)^(2.045/3)*.03178 )，t1系对哈李计算式相对误差偏离0位现象的修真式，提高哈李计算式的计算精度（小偶数区域效果不明显）。
不可否认的是陈君佐老师的计算式具有不错的计算精度，是网上大部分偶数素对计算式的计算精度不可比较的。
两个素对计算式的比较：（均采用单记素对数量）
Xi(M)=t1*c1*M/(logM)^2; 计算值的相对误差为 δXi( M)；
Zuo(N)= c1*pi(N)^2/N;计算值的相对误差为Δz(N)；
1亿级别：
S( 100000000 ) = 291400 ;Xi(M)≈ 292495.97 δXi( M)≈0.00376(t1=1.127558 )
C2B( 100000000 )= 1.333333 ;Zuo( 100000000 )≈ 283127 Δz(N)≈-0.02839
S( 100000002 ) = 464621;Xi(M)≈ 465575.31 δXi( M )≈ 0.00205 (t1=1.127558 )
C2B( 100000002 )= 2.12231 ;Zuo( 100000002 )≈ 450662.4 Δz( N )≈-0.03004
S( 100000004 ) = 247582 ;Xi(M)≈ 248227.08 δXi(M )≈0.002605(t1=1.127558 )
C2B( 100000004 )= 1.131535;Zuo( 100000004 )≈ 240276.1 Δz( N )≈-0.02951
S( 100000006 ) = 218966 ;Xi(M)≈ 219820.61 δXi( M )≈ 0.0039 (t1=1.127558 )
C2B( 100000006 )= 1.002045 ;Zuo( 100000006 )≈ 212779.5 Δz( N )≈0.02826
S( 100000008 ) =437717;Xi(M)≈ 438743.99 δXi( M )≈ 0.00234 (t1=1.127558 )
C2B( 100000008 )= 2 ;Zuo( 100000008 )≈ 424690.7 Δz( M)≈-0.02976
S( 100000010 ) =323687;Xi(M)≈ 324995.56 δXi( M )≈0.004041(t1=1.127558 )
C2B( 100000010 )= 1.481481 ;Zuo( 100000010 )≈ 314585.7 Δz( 100000010 )≈-0.02812
S( 100000012 ) = 263241;Xi(M)≈ 263246.41 δXi( M )≈0.000019(t1=1.127558 )
C2B( 100000012 )= 1.2 ;Zuo( 100000012 )≈ 254814.4 Δz( N )≈-0.03201
S( 100000014 ) = 437518;Xi(M)≈ 438744.01 δXi( M )≈ 0.002802 (t1=1.127558 )
C2B( 100000014 )= 2 ;Zuo( 100000014 )≈ 424690.6 Δz( N )≈-0.02932
S( 100000016 ) =220846 ;Xi(M)≈ 221681.19 δXi( M )≈ 0.003781 (t1=1.127558 )
C2B( 100000016 )= 1.010526;Zuo( 100000016 )≈ 214580.5 Δz( N )≈-0.02837
S( 100000018 ) = 233634 ;Xi(M)≈ 234273.93 δXi( M )≈ 0.002739 (t1=1.127558 )
C2B( 100000018 )= 1.06793 ;Zuo( 100000018 )≈ 226769.9 Δz( N )≈-0.02938
S( 100000020 ) =595554 ;Xi(M)≈ 597991.86 δXi( M )≈0.004092(t1=1.127558 )
C2B( 100000020 )= 2.725926 ;Zuo( 100000020 )≈ 578837.6 Δz( N )≈-0.02807
S( 100000022 ) =220244 ;Xi(M)≈ 221544.02 δXi( M )≈0.005903(t1=1.127558 )
C2B( 100000022 )= 1.009901;Zuo( 100000022 )≈ 214447.7 Δz( N )≈-0.02632
2亿级别：
S( 200000000 ) = 538290 ;Xi(M)≈539946.96 δXi( M )≈ 0.003078 (t1=1.121696 )
C2B( 200000000 )= 1.333333 ;Zuo( 200000000 )≈ 540204.9 Δz( N )≈0.003557
S( 200000002 ) = 431204 ;Xi(M)≈ 431957.57 δXi( M )≈ 0.001748 (t1=1.121696 )
C2B( 200000002 )= 1.066667;Zuo( 200000002 )≈ 432163.9 Δz( N )≈0.002226
S( 200000004 ) = 857900 ;Xi(M)≈859451.05 δXi( M )≈0.001808(t1=1.121696 )
C2B( 200000004 )= 2.12231;Zuo( 200000004 )≈ 859861.6 Δz( N )≈0.002287
S( 200000006 ) = 404351 ;Xi(M)≈ 405591.99δXi( M )≈0.003069(t1=1.121696 )
C2B( 200000006 )= 1.00156 ;Zuo( 200000006 )≈ 405785.8 Δz( N )≈0.003546
S( 200000008 ) =457516 ;Xi(M)≈458226.67 δXi( M )≈ 0.001553(t1=1.121696 )
C2B( 200000008 )= 1.131535 ;Zuo( 200000008 )≈ 458445.6 Δz( N )≈0.002035
S( 200000010 ) =1294228;Xi(M)≈1295872.72 δXi( M )≈ 0.001271 (t1=1.121696 )
C2B( 200000010 )= 3.2 ;Zuo( 200000010 )≈ 1296492 Δz( N )≈0.001749
S( 200000012 ) =405763 ;Xi(M)≈ 405788.38 δxi( M )≈0.0000616(t1=1.120532 )
C2B( 200000012 )= 1.002045 ;Zuo( 200000012 )≈ 405982.2 Δz( N )≈0.000540
S( 200000014 ) =404754 ;Xi(M)≈ 404960.24 δXi( M)≈0.000540(t1=1.121696 )
C2B( 200000014 )= 1 ;Zuo( 200000014 )≈ 405153.7 Δz( N )≈0.000986
S( 200000016 ) =808511;Xi(M)≈809920.49 δXi( M )≈0.001743(t1=1.121696 )
C2B( 200000016 )= 2 ;Zuo( 200000016 )≈ 810307.3 Δz( N )≈0.002221
S( 200000018 ) = 407227 ;Xi(M)≈ 407715.07 δXi( M )≈0.001198 (t1=1.121696 )
C2B( 200000018 )= 1.006803;Zuo( 200000018 )≈ 407909.8 Δz( N )≈0.001677
S( 200000020 ) =599793;Xi(M)≈ 599941.12δXi( M )≈0.001287(t1=1.121696 )
C2B( 200000020 )= 1.481481 ;Zuo( 200000020 )≈ 600227.6 Δz( N )≈0.000724
4亿级别：
S( 400000000 ) = 999700;Xi(M)≈ 1001480.06 δXi( M )≈0.001781(t1=1.115903 )
C2B( 400000000 )= 1.333333 ;Zuo( 400000000 )≈ 1001778 Δz( N )≈0.002079
S( 400000002 ) =1499250 ;Xi(M)≈ 1502220.06 δXi( M )≈0.001981(t1=1.115903 )
C2B( 400000002 )= 2 ;Zuo( 400000002 )≈ 1502668 Δz( N )≈0.002280
S( 400000004 ) = 799625 ;Xi(M)≈ 801184.04 δXi( 400000004 )≈0.001950(t1=1.115903 )
C2B( 400000004 )= 1.066667;Zuo( 400000004 )≈ 801422.6 Δz( 400000004 )≈0.002247
S( 400000006 ) = 934974;Xi(M)≈ 936858.25 δXi( M )≈(t1=1.115903 )
C2B( 400000006 )= 1.247298 ;Zuo( 400000006 )≈ 937137.3 Δz( N )≈
S( 400000008 ) = 1591043;Xi(M)≈ 1594088.21 δXi( M )≈0.001914(t1=1.115903 )
C2B( 400000008 )= 2.12231 ;Zuo( 400000008 )≈ 1594563 Δz( N )≈0.002212
S( 400000010 ) =1019242 ;Xi(M)≈ ;Xi(M)≈ 1021116.92 δXi( M )≈ 0.001840 (t1=1.115903 )
C2B( 400000010 )= 1.359477;Zuo( 400000010 )≈ 1021421 Δz( N )≈0.00214
S( 400000012 ) =751426;Xi(M)≈ 752281.83 δXi( M )≈0.00114(t1=1.115903 )
C2B( 400000012 )= 1.00156;Zuo( 400000012 )≈ 752505.9 Δz( N )≈0.00144
S( 400000014 ) = 1499100 ;Xi(M)≈ 1502220.1 δXi( M )≈ 0.00208 (t1=1.115903 )
C2B( 400000014 )= 2 ;Zuo( 400000014 )≈ 1502667 Δz( N )≈0.00238
S( 400000016 ) =848700 ;Xi(M)≈ 849907.32 δXi( M )≈0.00142(t1=1.115903 )
C2B( 400000016 )= 1.131535 ;Zuo( 400000016 )≈ 850160.4 Δz( N )≈0.00172
S( 400000018 ) = 875367 ;Xi(M)≈ 876928.14 δXi( M )≈ 0.00178 (t1=1.115903 )
C2B( 400000018 )= 1.16751 ;Zuo( 400000018 )≈ 877189.3 Δz( N )≈0.00208
S( 400000020 ) =2398503;Xi(M)≈ 2403552.15 δXi( M )≈0.00211(t1=1.115903 )
C2B( 400000020 )= 3.2 ;Zuo( 400000020 )≈ 2404268 Δz( N )≈0.00240
10亿级偶数：
S( 1000000040 ) = 2572795 ;Xi(M)≈ 2567568.1 δxi( M )≈-0.002032(t1=1.107077 )
C2B( 1000000040 )= 1.508713 ;Zuo( 1000000040 )≈ 2575136 Δz( N )≈0.0009099
S( 1000000042 ) = 1704957 ;Xi(M)≈ 1702733.09 δxi( M )≈-0.0013044(t1=1.107077 )
C2B( 1000000042 )= 1.000533 ;Zuo( 1000000042 )≈ 1707752 Δz( N )≈0.001639
S( 1000000044 ) = 3633170 ;Xi(M)≈ 3630562.97 δxi( M )≈-0.0007178(t1=1.107077 )
C2B( 1000000044 )= 2.133333 ;Zuo( 1000000044 )≈ 3641264 Δz( N )≈0.0022278
S( 1000000046 ) = 1763094 ;Xi(M)≈ 1762780.02 δxi( M )≈ -0.0001781 (t1=1.107077 )
C2B( 1000000046 )= 1.035817 ;Zuo( 1000000046 )≈ 1767976 Δz( N )≈0.002769
S( 1000000048 ) = 1704634 ;Xi(M)≈ 1701826.39 δxi( M )≈-0.001647(t1=1.107077 )
C2B( 1000000048 )= 1 ;Zuo( 1000000048 )≈ 1706842 Δz( N )≈0.001295
S( 1000000050 ) = 5453298 ;Xi(M)≈ 5445844.34 δxi( M )≈-0.001367(t1=1.107077 )
C2B( 1000000050 )= 3.2 ;Zuo( 1000000050 )≈ 5461896 Δz( N )≈0.001577
S( 1000000052 ) = 1704355 ;Xi(M)≈ 1701826.4 δxi( M )≈-0.001484(t1=1.107077 )
C2B( 1000000052 )= 1 ;Zuo( 1000000052 )≈ 1706842 Δz( N )≈0.001484
S( 1000000054 ) =1721027 ;Xi(M)≈ 1719334.27 δxi( M )≈ -0.0009837 (t1=1.107077 )
C2B( 1000000054 )= 1.010288 ;Zuo( 1000000054 )≈ 1724402 Δz( N )≈0.001961
S( 1000000056 ) = 3790389 ;Xi(M)≈ 3786333 δxi( M )≈ -0.00107 (t1=1.107077 )
C2B( 1000000056 )= 2.224864 ;Zuo( 1000000056 )≈ 3797493 Δz( N )≈0.001874
S( 1000000058 ) = 1837959 ;Xi(M)≈ 1835615.21 δxi( M )≈-0.001275(t1=1.107077 )
C2B( 1000000058 )= 1.078615 ;Zuo( 1000000058 )≈ 1841026 Δz( N )≈0.001669
S( 1000000060 ) =2277338 ;Xi(M)≈ 2273742.11 δxi( M )≈-0.001579(t1=1.107077 )
C2B( 1000000060 )= 1.33606;Zuo( 1000000060 )≈ 2280444 Δz( N )≈0.001364
白新岭 发表于 2019-7-7 14:42
吴代业的组合法分析哥德巴赫猜想是一种很好的方法，只不过他用了所谓的重复组合，把真实的有效的组合方法给 ...
谢谢白先生对我有许多中肯的评说！用中国网眼筛子。一次性筛去2. 3. 5的倍数，剩下8类WDY数，哥猜好比是一座房子。WDY数就是砖！大小正合适。比如偶数100以内有WDY数：
7376797
114171 （101大于100）
134373
174777
194979
235383
295989
316191
100=30*3+10 知道尾数10有两种组合方式：17+23 11+29
17 47 77 用0和1表示：001
83 53 23 000
11 41 71 000
89 59 29 000
因此偶数100有素数对5对！
D（100）=5/6*（100+200/ln100）/(ln100)^2=5
夜深了，谢谢各位看官！ 2019 .7.8 本帖最后由 重生888@ 于 2019-7-9 06:12 编辑
在我的理论中，3+97=100 这一堆不算；下面举偶数102，他有3种加法，5+97=102不在内。两种加法，偶数以内有一半素数参与配对，102=30*3+12 尾数是12，有3种加法：11+31 13+29 19+23
有四分之三素数参加配对，肯定会多：
11 41 71 101令素数为0，合数为1 0 0 0
91 61 31 1 0 0
13 4373 （103） 0 0 0
89 59 29 0 0 0
19 49 79 0 1 0
83 53 23 0 0 0
0+0=1（共6对）
D（102）=5/4*（102+204/ln102）/(ln102)^2=5 5+97不在内。
借用愚工先生一亿数据：G（100000000）=291400
吴代业公式计算：（与100使用的公式相同）
D（100000000）=5/6*（100000000+200000000/ln100000000）/((ln100000000)^2=272252
272252/291400=0.93425 计算值接近真值，小于真值！ 任一偶数的素数对经公式计算后，都呈现这一规律。因此也是普遍规律！ 白新岭 发表于 2019-7-7 14:42
吴代业的组合法分析哥德巴赫猜想是一种很好的方法，只不过他用了所谓的重复组合，把真实的有效的组合方法给 ...
谢谢白先生评说！重复组合正是优势所在：例如：120
7 376797
114171101
134373103
174777107
194979109
235383113
295989119
316191（121）
计算120的素数对，120以内的素数全部参加配对，如果是用连乘积，算出来的是数值（系数），我算出来的就是素数对！
另外，我的公式是推导出来的，如x/(inx)^2,别人是直接使用哈-李式子，而我是借用素数定理推导出的！
越大越有优势，因为，至极限，x以内素数个数没误差，如果x=30(n+1)+0为最大，我的新公式计算误差，越来越小，具有极大优势！ 谢谢各位好友的点评！