[求助]十年未解完的方称
关于不定方称x^2-11y^2=1的所有整数解？解：变形为x^2-1=11y^2,数列x^2-1除以11的余数的规律：
x^2： 1491625364981100 ……
x^2-1： 0381524354880 99 ……
余数：038 4 2 2 4 8 0 ……
由于余数为0的项有x=11a+1，11a+10
则有11y^2=(11a+1)^2-1=121a^2+22a (1)
(11a+10)^2-1=121a^2+220a+99 (2)
由（2）式得a=0时，y=3，
由（1）式得a=18时，a（11a+2）=3600=y^2，则y=60，
递推公式：
由于a=m^2为平方数时，y=(11a^2+2a)^(1/2)=m(11m^2+2)^(1/2)恒为无理数（由于根号内的式子，符合非平方数公式）,故a必须取非平方数,如a=2m^2,则有：
y=(11a^2+2a)^(1/2)=2m(11m^2+1)^(1/2),令m=y1=m1=3,则y2=m2=60,y3=m3=23880,y4=m4=3782639760,
y=2m(11m^2+1)^(1/2)= 3, 60,23880, 3782639760,……
x=(11y^2+1)^(1/2)=10,199,79210,12545596810,……
有（2）得y=1197,x=3970
由递推公式可得到无穷解，但不是全部解。
此为本人2001。6。所解，其他还没有解出，方称见于旧版本《简明数论》潘承洞，潘承彪著，说该方称只能用实验的方法得出有限解，该方称有无穷解，有的书已证明，没有见到解的普遍公式，希望赐教！不知有没有用？
能解决问题才显神功
[求助]十年未解完的方称
x^2-11y^2=1,pell不定方程,竟然十年...?[求助]十年未解完的方称
感谢楼上惠阅！本人愚笨，希望赐教！ 参看我在《数学中国》论坛发表的帖子：“佩尔方程——求方程 x^2-Ay^2=1 的正整数解”
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=11122
[求助]十年未解完的方称
通解：（10+3*11^(1/2)）^n=xn+yn*11^(1/2)[求助]十年未解完的方称
下面引用由ysr在 2010/12/22 05:08pm 发表的内容：感谢楼上惠阅！本人愚笨，希望赐教！
看看《谈谈不定方程》（柯召,孙琦）吧，一本数学科普书。
[求助]十年未解完的方称
[这个贴子最后由波浪在 2011/05/08 06:35pm 第 1 次编辑]如果使用 Excel 工作表，较小数字的解就不必使用理论方法了，可直接求出15位数以内的全部解。 本帖最后由 ysr 于 2023-5-13 02:08 编辑
对于佩尔方程，图片上的比网上其他资料浅显简洁明了。
不过，连分数法繁琐，某些特殊类型的最小解可以有其他方法或公式求解(如下图所示的公式)，简单的方程可以用枚举法算出来，较大的数据甚至可以用电脑程序通过枚举法算出来。
这是网上找到的佩尔方程的解的递推公式，其中的最小解需要连分数法得到。
求最小解的其他方法待研究 有必要研究一下。 除了图片中的3个类型，还有如下一个类型是可以确定和证明的：
第四类： 对于标准方程 x^2-Ay^2=1
若A为N^2-1型的数，则x=√（A+1) ，y=1 .
这是可以证明的，因为A+1 开方是整数，x和y的值代入原方程是成立的，等式两边相等的。
除了这四个，又搞出俩类型的佩尔方程的最小解公式，并用定理推导和证明了一下。
如下图片中的俩解是成立的，但公式是复杂的。
还有其他类型待研究，感觉很有规律，没有得到证明，很有趣，有待研究和证明。
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