数可以做除法，图竟然也可以？
数可以做除法，图竟然也可以？原创 小范 中科院物理所 2024-03-31 13:53 北京
本文将和大家一起，感受莫比乌斯环、甜甜圈面（也经常称作轮胎面）、克莱因瓶的产生过程，以及它们之间的区别和联系。
请大家准备一张弹性很好的橡皮膜（没有没关系，小编也没有，脑子里想象出来一个就行，这样更省事儿，你会发现在脑子里操作其实要比在手里操作简单）。你可以拉伸它，但不能撕破它。现在你可以尽情地尝试，在各种操作下它会变成什么样子，比如大家耳熟能详的莫比乌斯环，甜甜圈，乃至克莱因瓶。本文讲述的，正是这样一个问题。
简而言之，本文，我们来玩儿橡皮膜！
我们先考虑一个问题。除法是在做什么？如我们暂时从代数的抽象视角移开，而考虑它的实际意义，你会发现，将会有不一样的收获。
假设你路过一个教室，你知道这个教室有 16 张课桌。你数了数发现第一排有 4 张，于是你知道这个教室有 4 排。
从上边的例子可以看到，上述的求解过程，其实内含了每一排都是 4 张课桌这一假设，因而是个均分的过程。现在我们考虑万一每一排的课桌数目不一样呢？那该怎么得到排数呢？
我们可以沿着教室左侧墙边走一趟，就可以轻松数出有多少排，或者说，如果我们将这些课桌的几何排布向左做一个投影，数一下投影后有多少点。
此时我们发现，更为本质的是“排”本身，是桌子向左对齐的不同位置。如果我们定义向左投影位置相同的那些课桌组成一排，我们就定义了一个划分（即将很多个元素不重不漏地分为很多部分），或者说一个等价关系（至此，我们迎来了本文第 1 个抽象的概念，总共 3 个）。等价关系是一个二元关系，有这样易于理解的性质：
1、自反性。自己和自己是等价的。即：自己和自己是在同一排。
2、对称性。假设小明和小红在同一排，则小红和小明在同一排。
3、传递性。假设小明和小红在同一排，小红和小黑在同一排，则小明和小黑在同一排。
给定等价关系，我们就得到一个等价类，也就是得到一个划分。反之亦然，给定一个划分，就可以定义一个等价关系。（大家可以尝试按照定义证明一下）
类似的例子有很多。比如，宿舍是对入住同学的一种划分，定义同一个宿舍的人等价则得到了一个等价关系。
很好！我们定义了一个看似简单却非常有用的东西。根据目前这样的想法，我们就对除法做了这样的推广：
课桌 ÷ 排关系 = 所有的排
可能有的同学就要问了，一个明明很简单的问题，怎么感觉被你绕来绕去说得这么复杂呢？别着急，有趣的在后面。小编向你保证，后边的内容，都非常直观。
01商空间与“粘合”
现在，在我们的脑海里把橡皮膜拿出来。
看到这里，可能大家就会对标题里的 “图的除法”有了一个猜测。
将圆盘的边界粘合起来，将得到球面
利用刚才的思想，我们得到了一个从已有图产生新图的强大方法：除以一个等价关系（划分）。以这个带边的圆盘为例，该如何用这个圆盘得到一个球面呢？你会发现答案如此简单：除以它的边界即可。如果我们定义这样一个划分：圆盘内的每一个点自成一类，圆盘边界上的点一起成为一个新的类，然后我们再用一个点来表示一个类，就得到了球面。这里要注意，新的球面上的一个点是原来圆盘中的一个类，从粘合好得到最终的球面需要经过连续的形变，本文我们默认省去这一连续形变过程！可以表示如下
B2 / S1 = S2 。
这里 B2 指圆盘，S1 指一维球面也就是圆周，S2 指二维球面。这个过程非常直观，将橡皮膜圆盘的边界粘在一起捏成一个点，再通过适当的拉伸和变形，就得到了一个漂亮的球面！这不就是包饺子的过程吗？没错！
暂不阐释严格的概念，我们可以将这个得到的新空间叫做商空间。
看到这里的读者请为自己点个赞，你已经学会了简单的“图形除法”。大家可以发现，这种除法直观上，就是一种粘合！下面来做几道习题吧：
一学就会，一用就……
为了更广泛地研究这种操作，我们现在来关注正方形，请把脑海中的橡皮膜设置成一个正方形。
圆柱面
现在我们这样来定义划分。对于如上的在坐标系中的 1×1 的正方形，将左侧边的（0, t）点和右侧边的（1, t）点划为一个类，而除去左右两侧边剩下的每一个点自成一类。这将得到什么？没错，一个圆柱面！
莫比乌斯环
现在，仍然是这个正方形，将左侧边的（0, t）点和右侧边的（1, 1-t）点划为一个类，而除去左右两侧边剩下的点自成一类。这将得到什么？你会发现，用橡皮膜做这个事情时，必须先扭一下才能完成这个粘合！这将得到莫比乌斯环！再次提醒大家注意，商空间上的一个点是原空间中的一个类。
现在我们约定，使用带箭头和标记的边来表示这种粘贴，规则如下：
1. 看符号，对于同种符号的边，需要进行粘合。
2. 看箭头，如果箭头是同向的，则表示顺向粘合，如果是反向的，则需要扭转一下再进行粘合，以保证进行粘合后两个箭头重叠。
则刚才的圆柱面和莫比乌斯环可以如下表示：
左边为圆柱面，右边为莫比乌斯环
大家经常会在文献里见到这种表示方式！
更有趣的来了！
甜甜圈面
如果我们将左侧边的（0, t）点和右侧边的（1, t）点划为一个类，而将上边的（t, 1）和下方的（t, 0）划为一个类，可以标记如下。那么对于该标记，粘合而成的是什么样子呢？
正是甜甜圈面！
可能会有的同学要问了，早说，你这个不就是粘来粘去就可以了吗？还讲什么划分，等价关系？
之所以概念化和形式化，至少有以下三个原因。
1、 数学上严格的描述时不可少的，而且符号化可以帮助我们打开思路。如果只停留在描述层面，就可能会产生谬误。而符号化之后，可以大大帮助我们构思。
2、 这种粘合实际上可以帮助我们从原图的结构得到商空间的结构。之所以研究这种“粘合”而来的关系，是因为简单的几何+粘合方法可以给出复杂几何的结构信息。
3、 之所以不简单地使用粘合这个说法，是因为有些情况下，你无法在现实（三维空间）中完成这个物理意义上的粘合。比如我们将要提到的，克莱因瓶，交叉帽。
有了如上符号化的铺垫，我们就有了探索的思路。以上的例子其实都较为直观，但接下来这个例子就不这样了。
克莱因瓶
可以看到，此图中一对边做同向粘合，一对边做反向粘合，得到的是什么东西呢？
正是传说中的克莱因瓶！你是否发现了不一样的地方？注意，这两次粘合无法在三维空间内完成，第二次粘合时总会遇到困难。但是作为除以等价关系意义下的商空间，并不会受限于此。数学上，这仍然是良好定义的二维曲面。
克莱因瓶经常被称作“永远不会被装满水的瓶子”。实际上，这个说法来自于其特殊的粘合方式，导致内部和外部是连通的，因而其实“装水”这个说法本身是否成立也有待商榷。
交叉帽
如果两对边都做反向粘合呢？即
实际上，这也是在三维空间中无法呈现的图，比如如下（称作射影平面，又叫交叉帽，小丑帽）：
也就是这个样子：
但注意这里也是虚拟相交。
怎么样，通过这种取商空间，或者说“粘合”的方法，有没有感觉莫比乌斯环、甜甜圈面、克莱因瓶、交叉帽这些东西都被联系起来，曲面的世界一下子被打开了一扇门！
多边形粘合
到此为止了吗？当然不。进一步，我们还可以考虑多边形的粘合：
从上到下依次是带1个、2个、3个洞的“甜甜圈”
这种多边形粘合，给了我们强大的构造方式！
02二维紧曲面分类定理
发挥你的想象，手中的橡皮膜到底可以粘合成多少种图呢？为了明确起见，我们要给我们的研究对象一个定义。我们首先关心的，是叫做紧曲面的东西（至此，我们迎来了本文第 2 个稍微抽象的概念，总共 3 个）。
紧曲面，简单来说（严格定义请参考相关数学教材），是这样一个空间，在这个空间中的每一个点处看，其局部都等同于 R^2 无穷大平面。此外我们还要求曲面是紧的，这点也很直观，不严谨地讲，即这个曲面没有断开的地方，大小也是有限的。
即，如果我们变得非常非常小，然后站在这个曲面的任意一个点上，你都会感觉站在 R^2 平面上。举个最简单的例子，地球表面如果光滑一些的话，就是一个标准的二维球面，我们在上边只感受到一个无穷大平面。
举例而言，正方形因为有了边界，因而认为不是紧曲面；R^2 是无穷大的平面，故不满足紧性条件。
这正是拓扑的迷人之处：局部来看，大家都一样。但是形成整体时，立即就呈现出了非常不同的性质。比如以地球为例，人们只有绕了地球一圈回到原点，才真正确认地球是球状的。这种整体的性质，正是拓扑学的研究内容。（拓扑学，研究几何对象在连续变化下不变的性质的学科。）
我们通过上述定义，规避掉了那些奇奇怪怪的二维空间。而你会发现，紧曲面可能会非常多种多样。
多种多样的紧曲面
为了研究曲面之间的区别和联系，我们借助之前的思想，可以获得从已有曲面构造新曲面的方法。这个方法称之为连通和，简单来说是这样操作的：
对于两个曲面，我们先在每个曲面上分别打出一个圆形的洞，然后将边界按照之前的方法粘合（严格的处理要相对复杂些，因为要设法使其光滑化）。比如如下的例子：
我们用符号“#”来标记连通和这个过程。如此一来，我们就有了构造新曲面的手段！
大家扶稳坐好，我们来到了本文的最终站：紧曲面分类定理。首先我们引入连通（至此，我们迎来了本文第 3 个抽象的概念，总共 3 个）的概念，简单来讲就是不能简单地分为两个或多个不相连的部分。
伟大的紧曲面分类定理断言：
我们用来标记甜甜圈面，用来标记交叉帽，则对于连通紧曲面，无论多么复杂，一定是下面中的唯一一个！：
1. S2 ；
2. T # T # … # T（n 个，n≥1）；
3. P2 # P2 # … # P2（n 个，n≥1）。
也就是说，这个连通紧曲面，要么是球面，要么是环面的连通和，要么是射影平面的连通和！
Amazing ！一下子清清楚楚，有点出乎意料之外、又在情理之中的感觉。更让人感到美妙的是，证明这个定理的思路就藏在之前讲的“粘合”方法中，没错，就是多边形的粘合！
任你紧曲面变化无穷，给定一个紧曲面后，我们总可以裁上几刀之后，将其展开成一个多边形，如果我们在剪的时候对新出现的两条边做好标记，得到的正是之前介绍的多边形粘合形式！而我们有相应的方法分析这种多边形粘合形成的紧曲面结构，进一步即可给出相应的分类。
其中的细节也非常有趣和丰富，欢迎感兴趣的同学阅读相关教材！
哎等等！貌似有几个可能的问题没说清楚！
Q1 那克莱因瓶呢？克莱因瓶怎么看也不像你上边说的这些啊？
可以证明，克莱因瓶正是 P2 # P2 。
Q2你这个分类怎么没有 P2 和 T 的连通和？
这里有件神奇的事情：P2 # T = P2 # P2 # P2 !
Q3凳子的表面该是哪一种呢？
留给读者自己思考～～～
03最后
做个简单的总结，本文从除法出发，从几何视角介绍了“除以一个等价关系”的操作。这种操作很像是一种粘合，可以帮助我们从多边形出发，构造许多有趣的几何，比如莫比乌斯环，球面，甜甜圈面，克莱因瓶等。最后，我们介绍了一个让人惊讶的事实，即二维连通紧曲面只有三类，要么是球面，要么是甜甜圈面的连通和，要么是 P2 的连通和！而这个定理可以用多边形粘合的方法加以证明！
拓扑的语言或许有时为了严格化而有些繁琐，但其实际内容却非常直观而有趣。对这些对象的研究也带来了许多著名的定理：比如毛球定理，比如三明治定理。我们也期待这些整体性质的研究能在物理里获得更多的应用（比如量子纠错码里的拓扑码，就是其中的例子）！
参考文献：
James R M. Topology. Prentic Hall of India Private Limited, New delhi, 2000.
编辑：小范
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