Patrick 的学习笔记 3——椭圆函数
Patrick 的学习笔记 3——椭圆函数原创 patrick2000 倾盖若水 2024-03-24 20:07 广东
今天讲啥呢 ？当然是我男神阿贝尔的椭圆积分啦！
尼尔斯·亨利克·阿贝尔（1802 年 8 月 5 日 － 1829 年 4 月 6 日）27 岁 挪威数学家（百度百科）
说他是我男神，不仅因为他的学术成就，还因为他长的太帅啦！
放张图感受一下：
看看，看看，这才是真正的帅哥！
呃...抱歉跑题了，说到阿贝就必须提提另一位数学家：雅可比。
卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi ，1804～1851 年）,德国数学家。（百度百科）
以及当时数学家们都在搞什么，呃...
以高斯和他的好朋友罗巴切夫斯基为首的几个（可能就他俩，加个高斯的学生黎曼）超越时代的数学家在搞非欧几何。
其余同样站在顶端的数学家在研究椭圆周长，然而在当时，这是个天坑，
首先要了解椭圆和圆的定义：
圆：到一个定点的距离为常数。
椭圆 ：到两个定点距离之和为常数。
这俩玩意定义很像，长的很像，性质很像，解析式也很像见下图：
身体原因，没法画圆心，半径，焦点，请谅解一下谢谢
而且从射影几何角度来讲，这俩是一个东西。
不过今天只讲椭圆积分，不讲其他。
但是，到了周长这里，就出了问题！
圆周长 D=2πr
椭圆周长，呃... 起码在当时，无法计算！
我们当然可以仿照圆的周长公式，来弄出个椭圆周长公式 ：
D=π(a+b)
在 18 世纪之前，人们也确实是用这个方法估算的，但是误差，呃...见下图；
误差太大。
那换个精确度高一点的再试试呢？
嗯，这个不错，那这个是是谁提出来的呢？
呃..拉马努金。
对，就是那个和我一天生日的印度数学家拉马努金。
据说智商 185 ，什么概念呢？爱因斯坦 181 。
以前我说他很神奇，其实并不准确，准确来说，这哥们神奇到有些邪乎。
这个公式就是他随口蹦出来的！
呃....他还随口蹦出来过什么公式呢？
见下图：
呵呵，想不到吧！
这简直太牛逼啦！
我以与这哥们一天生日为荣！
让我们一起瞻仰一下这位千古奇才的容颜：
呵呵，也是个帅哥。
好了，不废话了继续讲，当时研究椭圆周长时间最长的是谁呢？
答：勒让德。
首先，有很快给出了这样一个公式：
然后根据微积分创始人莱布尼茨的说法，任意一个不定积分都可以找到一个初等函数表达式的组合形式，于是他开始寻找这个初等函数的组合。
这样就能找到计算椭圆周长的公式了。
呃...找了多少年呢？
整整 40 年！
找到没有？呃，他放弃了！
原来莱布尼茨的说法并不准确，和无理数中有超越数一样，函数也存在一类超越函数。
而超越函数是无法表达成初等代数表达式的！
椭圆积分所对应的函数，很不幸，对应的函数，就是个超越函数？
所以，勒让德，你这 40 年白干了！
有一天，勒让德收到一封来自挪威年轻人的来信，信的内容附了一篇论文。
论文的名称很朴素，叫《论一类非常广泛的超越函数》
当时世界数学的中心在德国和法国，勒让德是法国人，他根本不相信除了德国与法国，还有地方有数学！
加上这篇文章字写的太轻，和用透明墨水写的一样。(这个应该是事实)
于是乎，他把这篇文章拿给了当时数学界另外一位名字很响亮的人，嗯，就是柯西。
这个柯西，很不巧，他也是一个法国人，他和勒让德一样不认为世界上除了德国和法国，还有数学存在！
于是就把这篇论文丢去一边，忙活别的去了。
这篇论文，没错就是我的男神，挪威的阿贝尔写的。
他们不知道的是这篇论文即将在数学界掀起一场巨大的风暴。
那好了，我废话这么多干嘛呢？为啥每次都要从数学史讲起呢？
很简单，著名数学家拉普拉斯说过一句话：
意识到别人天才的研究方法在科学和研究上一样重要。—— 拉普拉斯
所以，你懂的。
呃...继续讲下去，有个开头提到，但一直没有出场的人物叫雅可比，不知道还有没有人记得？
反正我还记得。
这个雅可比，他有一天想到一个问题：为什么我们不能在椭圆中定义一个类似三角函数的东西呢？
正好，雅可比想到了法国科学院有个叫勒让德的数学家，花了整整 40 年研究椭圆的周长。
他一想同样是椭圆问题，不知道是否会给自己提供一些帮助呢 ？
于是他先后拜访了高斯，傅里叶，泊松等这些站在数学金字塔顶端的人物，最后在傅里叶的引荐下找到了在法国科学院的勒让德。
勒让德在停了他的问题后摸了摸自己的后脑勺，有点记忆模糊的说：
我记得，呃...几个月前，好像，似乎有个挪威的小朋友在和你在研究同样的问题。
雅可比一听，瞬间手舞足蹈起来（我加的动作）心想：我去知音啊！
雅可比于是激动地问：
那篇论文在哪？
勒让德支支吾吾地回答：
呃...他的字写的太轻了，和用透明笔写的一样，看不清楚，于是我就丢给柯西了。
这里我解释一下：
阿贝尔在写那篇论文的时候，已经身染重病，写完没几天就去世了...
所以我认为字写的很轻应该是事实。
于是雅可比找到了柯西，问那篇论文在哪？
于是柯西在废纸堆里面一通翻找，终于找到了那篇论文，于是交到了雅可比手上，雅可比回去后，通宵阅读。
第二天，他就怒气冲冲地跑到法国巴黎科学院，揪着勒让德和柯西的脖子就一顿臭骂：
你们知道自己干了什么吗？你们把本世纪最重要的研究成果扔到了废纸堆里！
于是勒让德和柯西立马认真阅读起来，读完以后认识到自己确实犯下大错，于是马上各自公开发布文章道歉。
这个举动太帅了有木有！！
并给阿贝尔一个迟到的荣誉。
为什么是迟到呢，因为这一年是 1829 年 ，阿贝尔在这年 4 月已经去世 …
好了，回到正题，阿贝尔这篇论文主要写了啥呢？
简单来说，他提供了研究椭圆积分的一个全新的思路。
当时所有数学家们都把自己的时间放在了研究椭圆周长身上，并且给出了各种类型的椭圆积分，而到了椭圆积分这里，就研究不下去了。
为啥呢？因为椭圆积分对应着一个超越函数，而超越函数没有有限次的代数表达式！
具体见下图：
哦而我们的阿贝尔呢？他问了自己一个问题：
椭圆积分的本质是什么？假设我们把椭圆的两个焦点无限靠近，直到变成一个圆为止，见下面几张图片：
它所对应的积分是啥？
就是下图：
那么这玩意儿是个啥呢？
这不就是反正弦的积分嘛！
反正弦是个啥？不就是个角度吗？
在现在看来，可能不过如此，但是在当时，反三角函数的研究才刚刚开始，所以在阿贝尔的论文之中，用了相对比较复杂的方法得到了这么一个结果。
他等于是把反正弦函数的积分式独立地推导了一遍。
先不管这个东西复不复杂吧，反正椭圆积分的结果实际上类似与圆周上的角度。
我们自然是可以在这个角度上定义类似这样的函数的。
圆：sin(x) ，cos(x)三角函数
椭圆：cn(x) ，sn(x) 椭圆函数
数学界把这种函数这样定义出来的函数称为椭圆函数。
而严格定义就轮到雅可比同学来搞定了：
雅可比把椭圆积分的结果标为 u ，再用 k 表示这么个常数：
k=√(1-a^2/b^2)
于是乎，雅可比 ：
定义一个类似 sin 的椭圆函数 cn(u,k)
以及一个类似 sin 的椭圆函数 sn(u,k)
由于 k 是个常数，所以可以简单表示为：
cn(u) 和 sn(u)
而它们之间的关系和 sin 与 cos 之间的关系一样，有：
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1
sn(x)^2 + cn(x)^2 = 1
类似的还有和差公式，倍角公式，甚至欧拉公式。
而且从复数域来看这两个函数，会发现他们在实轴和虚轴上都呈现了周期性，所以椭圆函数又被称为双周期函数。
见下图：
你可能会奇怪，这和数论有半毛钱关系啊！
呵呵，这你就大错特错了！
呃，怎么说呢？
椭圆积分→椭圆函数→椭圆曲线→费马大定理！！
了解数学的人都知道，费马大定理这玩意在数学史上有多大的意义！
这可是困扰数学家长达 400 年的百年悬案！
搞定这个的就是英国数学家怀尔斯大神！
怀尔斯因为证明了费马大定理而被授予了菲尔兹特别奖！因为他当时已经超过 40 岁了。
菲尔兹奖只授予 40 岁以下的年轻数学家。
中国有两位菲尔兹奖得主：
邱成桐
陶哲轩
不过都是华裔
近期回想起来的
这里我还回想起了一件事：
我和某人吹逼的时候，她问我梦想是啥？
我毫不犹豫地回答：
诺贝尔物理奖！
然后停顿一会说：
顺便给个菲尔兹奖也可以啊！
所以有没有一种可能，只是可能啊，我是先拿菲尔兹奖，再拿诺奖呢？
以上纯属胡扯，但事是真的
好了，这就是椭圆积分和椭圆函数了呃，比我预想的长了好多，还有是真特么累啊！
打字的时候要保证严谨性，得不停地看一个视频，都有点恶心了！
所以我准备停下学习笔记的步伐，继续干老本行——科普。
总之谢谢看到这里，如果有帮助，还望打赏一二，苍蝇腿再小也是肉啊！
patrick2000
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