曼德布罗特集的神秘之美
曼德布罗特集的神秘之美原创 围城里的猫 MathSpark 2024-03-16 08:00 北京
它被称为 "上帝的指纹"，在我看来，它是数学中最有趣、最美丽的物体之一。在这期推送中，我们将了解这个神秘的集合到底是什么，为什么它如此重要，以及讨论为什么人们对它的了解还不是很透彻，我们还将通过令人惊叹的图片一起探索这个神奇的分形。
曼德尔布罗特集
在解释什么是曼德布罗特集之前，让我们从一个神奇而真实的故事开始。曼德尔布罗特集本身最早绘制于 1978 年，首次公布的版本是下面这张图片：
很明显，这只是一张粗略的草图，它显示了一个奇特的形状，但没有人敢奢望后来在其边界附近发现的细节和错综复杂的结构。在这幅图像发布两年后，当时在 IBM 工作的应用数学家 Benoit Mandelbrot（曼德尔布罗特）正在尝试编写计算机代码，以便更详细地可视化这个集合。
据说，曼德尔布罗特让电脑打印出的数据集上有几处断开的污点，看起来就像墨渍，因此一些工作人员会在数据到达曼德尔布罗特本人手中之前设法清理纸张。这让他一开始很困惑，直到他发现了这是怎么回事。他要求工作人员"停止清理纸张！"。
当更详细的图像被打印在纸上时，很明显，细节比最初假设的要多得多。当时，没有人会想到这组图形会成为数学史上最著名、最广为人知的几何图形之一。如果我们向互联网询问有关曼德布罗特集的信息，会得到如下答案："曼德布罗特集呈现出无限复杂的边界，在放大倍数增加的情况下，会逐渐显示出越来越细的递归细节；从数学上讲，曼德布罗特集的边界就是一条分形曲线"。
在接下来的文字中，我们尝试了解这种复杂性的来源和它的重要性，但有一点我想在开始的时候就予以确认会比较好，即它是真实存在的这一简单事实。这也是它最吸引人的地方，它包含了关于某个数学函数的宝贵信息（我稍后会告诉你这意味着什么）。
将曼德布罗特集作为几何图形来讨论时，首先要了解的是，它是在一个被称为复平面的二维空间中绘制的（但别担心，这不会变成一篇关于复数的文章，但我们需要了解最基本的知识）。复数是一个形式为 a + bi 的数字，其中 i 是一个代数符号，具有 i^2 = -1 的性质。因此，当你观察曼德布罗特集时，实际上看到的是在坐标系中表示的复数。
当你读到“坐标系”这几个字时，你可能会想到我们绘制函数或点的图形的平面。在 "通常 "的坐标系中，两个坐标轴分别代表某个函数的输入空间或定义域（x 轴）和输出空间或图像（y 轴），这很好，但这只是几何的一种表示方法。
点和向量也可以在坐标系中表示。同样，任何复数 z = a + bi 也可以在坐标系中用点（a，b）来表示。这种表示法非常有意义，因为复数的乘法和加法具有几何意义。代表复数 z 的点到原点的距离称为模，用 |z| 表示。这个距离函数有许多有用的性质。那么
曼德布罗特集是如何定义的？
考虑一个复变量函数 f(z) = z^2 + c，其中 c 是某个常数复数。现在我们从 z =0 ，z=1 ，z=2 ，…… 开始对该函数进行迭代，并将 f(z) 的值记录下来，得到一系列数字，如果这个序列趋向于无穷大，那么数 c 就不属于曼德布罗特 集合；如果它是有界的，那么 c 就属于曼德布罗特集合。
好吧，让我们来看一个例子，例如，如果 c = 1 ，那么序列开始为 1 ，2 ，5 ，26 ，…… ，这个序列会趋于无穷大。但是，如果我们 c = -1 ，我们开始迭代 f(z) ,那么就会得到序列 -1 , 0 , -1 , 0 ,…… ，这显然是有界的，所以 c = -1 是曼德布罗特集的一部分。但 c=1 却不是。当我们在复平面上绘制代表该映射迭代下边界复数的点时，会得到如下图像：
这正是曼德尔布罗特所做的，我们只是在这里展示了一幅更详细的图像。如果你仔细观察，就会发现到处都是小的曼德尔布罗特集。这就是分形的标志。这是一种显示自相似性的几何形状。其中有些看起来就像一个个独立的小岛，但令人惊奇的是，曼德布罗特集实际上是连通的，也就是说，如果不切开它，就无法将它分成两个或多个不相交的子集。但我们不知道它是否是局部连通的，这需要更多的数学来解释。
无限复杂性意味着什么？
这意味着当你“接近”边界时，初始点 c 的微小变化会导致输出的巨大变化。从数学意义上讲，计算实际的“边界”需要对映射进行无限次迭代。
探索曼德布罗特集
随着我们对这组图案的放大，它的细节也越来越多，有很多小的版本，但只有细微的差别。通过不同的着色方式，我们可以欣赏到它的不同形状。这就像哈勃望远镜拍摄的宇宙一小部分的深处照片，其中包含数十亿个星系，每个星系由数十亿颗恒星组成，只不过曼德布罗特集的一个小子集实际上包含了无限多的小曼德布罗特集以及无限多的附加结构。
探索曼德布罗特集会让人上瘾。此外，即使集合是自相似的，不同的区域也会显示出完全不同的、看似全新的形状。下面我们就来看看这方面的一些例子：
事实上类似的函数形式，还可以得到许多不同的分形，比方说如果我们选择 f(z) = z(z+1)/2 + c ，就会得到下面这个奇怪的分形，它看起来有点像参差不齐的曼德尔布罗特集：
再者如果我们使用 f(z) = e^(-z) + c ，就会得到下面这个带有 "叶子 "的分形：
我最喜欢迭代的函数之一是函数 f(z) = z(1-z) + c ，它看起来像下面这样：
放大后，这个分形的细节非常丰富。我们可以看一下更高清的：
我可以盯着这幅画看上几个小时！细节之多令人难以置信。迭代伽马函数 f(z) = Γ(z+1) + c 也会产生奇妙的分形：
如果我们放大中间的尖峰，就会发现一个复杂的世界！看看这个
或许这就是真正地在一粒沙中看到一个世界，在一朵野花中看到一个天堂。至此我们将握在了手掌中。
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