导数的几何意义(五)——隐零点问题
导数的几何意义(五)——隐零点问题原创 深度一佳 深度一佳 2024-03-07 13:50 山东
隐零点问题本质上还是函数的零点问题,只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来表示而已。
比如这个函数有一个零点,这个零点的值可以直接求出来:
这个结果安排的明明白白,就是一个具体的值。
现在再给你一个函数:
假如让你求出它的零点,你又该如何应对呢?如果令:
我们知道这个方程有解,交点就在第一象限的 A 点,是个显眼包:
但这个 A 点具体的横坐标是多少呢?我们没办法给出一个确定的值。
也就是说我们明知道这个函数有一个零点,但就是没办法给出这个零点的具体数值,不可描述,这时候我们就称为这个零点为隐零点。
本质上,隐零点也是零点,是一个没办法描述具体值的零点。
虽然我们没办法给出具体值,但我们可以给出这个零点的大致范围。
求导之后,我们就能知道这个函数是单调递增的:
既然单调增,那么我们令:
如果我们找到:
那就可以确定零点的大致范围:
这里的区间开闭都可以。
针对上述函数,我们尝试具体的值代入:
也就是说,我们可以得出零点较为具体的范围:
这个范围还是太宽泛了,我们还可以再精准一些:
如果题目的要求还需要更精准,你当然可以继续尝试具体的数字,逐步缩小范围就OK。
知道了隐零点的值的范围,我们能做什么呢?
它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数,当成一个确定的常数来用,然后瞒天过海完成运算。
比如让你证明这个不等式成立:
很明显,函数定义域大于 -2 。
要证明这个函数大于 0 ,只需要证明它的最小值大于 0 就可以了,我们首先需要搞清楚函数的单调性,求导观察:
为了更明确地观察一阶导函数的单调性,我们可以对一阶导再次求导:
二阶导大于 0 ,说明一阶导函数是单调递增的,令一阶导函数为 0 :
很明显,我们此处又碰到了隐零点问题,这个方程,我们是没办法解出来的,此时我们可以设 x0 为它的零点,然后尝试代入具体的数值,找到这个零点的大致范围:
因为一阶导函数是单调递增的,所以零点肯定存在,且在 -1 和 0 之间,也就是说:
此时,就有这个等式存在:
用图像来表示导函数和原函数之间的关系,就是这样子:
针对原函数来说:
原函数的最小值为:
最小值比 0 大,就说明原函数是大于 0 的,不等式成立。
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