在 ΔABC 中，∠C=135°，BC=4 ，D 为 BC 中点，求 tan∠BAD 的最大值
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：
\(过D作AB垂线(垂足=F),DF=\frac{2x}{AB},BF=\frac{2(4+x)}{AB},AB=\sqrt{(4+x)^2+x^2}\)
\(\tan∠BAD的最大值=\frac{DF}{AB-BF}=\frac{2x}{(4+x)^2+x^2-2(4+x)}=\frac{x}{x^2+3x+4}=\frac{1}{7}\) 在 ΔABC 中，∠C=135°，BC=4 ，D 为 BC 中点，求 tan∠BAD 的最大值
谢谢陆老师！2楼的图。谢谢陆老师！
用三角函数解题=降维打击。万能公式:
\(1=\frac{\sin(∠DAB)*AB*CD}{\sin(∠DAC)*AC*BD}=\frac{\sin(∠DAB)*\sin(\pi/4)*2}
{\sin(∠DAC)*\sin(∠DBA)*2}\)
\(∠DAC=∠DBA时,\tan∠DAB取得最大值=\frac{1}{7}\)
更一般的,∠C=135° 可以改。 \(发散思维。假如我们已经知道∠DAC=∠DBA时,\tan∠DAB取得最大值(这一课再来补)。\)
\(ABD面积=ACD面积=>\sqrt{x^2+x^2}*\sqrt{x^2+(2+x)^2}=2*\sqrt{x^2+(4+x)^2}=>x=2\) 小结。2楼的图。谢谢陆老师！
\(一般的有:在 ΔABC 中,已知∠C=c,已知\frac{BD}{CD}=\frac{n}{m},求\tan∠BAD=\tan(a)的最大值。\)
\(由万能公式:1=\frac{\sin(a)*\sin(c)*m}{\sin(x)*\sin(x)*n}可得a,其中x=\frac{180-c-a}{2}。\)
\(联系本题:在 ΔABC 中,∠C=135°,BC=4,D为BC中点,求\tan∠BAD=\tan(a)的最大值。\)
\(由万能公式:1=\frac{\sin(a)*\sin(135)*2}{\sin(x)*\sin(x)*2}可得\tan(a)的最大值=\frac{1}{7},其中x=\frac{180-135-a}{2}。\)
\(把“求\tan∠BAD的最大值”改成“求\sin∠BAD的最大值”,方法不变。\)
\(“求\tan∠BAD的最大值”等同“求\cot∠BAD的最小值”。\)
\(......\) 有一个简单的几何解法
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