求证：存在等边六边形ABCDEF，使得 △ABC，△CDE和△EFA的边长...
求证：存在三组对边分别平行的等边六边形ABCDEF，使得△ABC，△CDE和△EFA的边长之和分别为234，242与250。 已知ABCDEF为一个三组对边分别平行的等边六边形，且△ABC，△CDE和△EFA
的边长之和分别为234，242与250，求这个等边六边形的边长。
这个问题的关键在于其解是否唯一（1楼的等边六边形的边长为65），难度更大。 本帖最后由 波斯猫猫 于 2024-3-13 08:41 编辑
如图，由条件易证得∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且∠B＋∠D＋∠F=360°。
把△ABC，△CDE和△EFA组成△ACE，则△ACE外接⊙O的半径r为等边六边形的边长。
由三角形的面积公式有S△ACE=abc/4r=√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]/4，
即(abc)^2=r^2(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)，
或[(234-2r)(242-2r)(250-2r)]^2=r^2(726-6r)(226-2r)(242-2r)(258-2r)，
或4(117-r)^2(125-r)^2=3r^2(113-r)(129-r)。
又r+r＞250-2r，且(234-2r)+(242-2r)＞250-2r，故62.5＜r＜113。
经检验，易知r=65是4(117-r)^2(125-r)^2=3r^2(113-r)(129-r)的一个解。
故，存在三组对边分别平行的边长为65的等边六边形ABCDEF，使得△ABC，△CDE和△EFA的
边长之和分别为234，242与250。
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