对一族复合函数求值题目的错误及其错解的浅析
本帖最后由 刘付来 于 2024-3-11 14:32 编辑最进网上接二连三的出现这类题目：\(\ f\left[ f\left( x\right)\right]=ax^2+bx+c{,}\left( a\ne0\right){,}\ \ \ 求：\ f\left( n\right)=?\),并且都解答出了\(\ f\left( n\right)\)的值。可见对此达成了共识。老朽不才，在此提出异议。
1，能使\(\ \ f\left[ f\left( x\right)\right]=ax^2+bx+c\)成立的\(f\left( x\right)\)不存在。
若\(f\left( x\right)=ax+b\)是一元一次次函数，那么\(f\left[ f\left( x\right)\right]=a\left( ax+b\right)+b=a^2x+ab+b\)仍然是一次函数；若\(\ f\left( x\right)=ax^2+bx+c\),那么\(f\left[ f\left( x\right)\right]=a\left( ax^2+bx+c\right)^2+b\left( ax^2+bx+c\right)+c\)这显然是一元四次函数。能找到一个函数\(f\left( x\right)\)，自我复合后得到\(\ \ f\left[ f\left( x\right)\right]=ax^2+bx+c\)吗？
2,以\(f\left[ f\left( x\right)\right]=x^2-3x+4\)，求\(f\left( 1\right)=?\)为例剖析其解的错误。
公认的解法是：
令\(x=1{,}\)，则：\(f\left[ f\left( 1\right)\right]=1^2-3\times1+4=2{,}\),
那么：\(f\left\{ f\left[ f\left( 1\right)\right]\right\}=f\left( 1\right)^2-3f\left( 1\right)+4{,}\),
又，\(f\left[ f\left( 1\right)\right]=2\),
所以：\(f\left( 2\right)=f\left( 1\right)^2-3f\left( 1\right)+4...........\left( 1\right)\)
令\(x=2\),
则：\(f\left[ f\left( 2\right)\right]=2^2-3\times2+4=2\),
那么：\(f\left\{ f\left[ f\left( 2\right)\right]\right\}=f\left( 2\right)^2-3f\left( 2\right)+4\),
又\(f\left[ f\left( 2\right)\right]=2\),
所以：\(f\left( 2\right)=f\left( 2^2\right)-3f\left( 2\right)+4{,}\ \ \ 即{,}f\left( 2^2\right)-4f\left( 2\right)+4=0\),
解得：\(f\left( 2\right)=2..........\left( 2\right)\)
由\(\left( 1\right)，\left( 2\right)\)得：\(2=f\left( 1\right)^2-3f\left( \left( 1\right)\right)+4{,}\ \ 即：f\left( 1\right)^2-3f\left( 1\right)+2=0\),
解得：\(f\left( 1\right)=2{,}\ \ \ 或f\left( 1\right)=1\).
问题就出在这最后一步。以上的解题步骤都合理，却求得\(f\left( 1\right)\)有两个值，这与函数定义相悖（函数定义强调给自变量一个值，有唯一的函数值与其对应）。因此\(f\left( x\right)\)无意义。这也佐证了上面第一条的分析。
有人将\(f\left( 1\right)=1\)代入原式进行检验，将其舍去。那么原中的\(x^2-3x+4\)是复合函数\(f\left[ f\left( x\right)\right]\)的表达式，并非\(f\left( x\right)\)的表达式，这种检验有何意义。
正当高考备考的关键时刻，如果上面的分析是正确的，那么广大师生在这种题目上浪费时间和精力实在可惜。
错误之处，请老师赐教。
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