从有趣的 5 次方数说开去
从有趣的 5 次方数说开去原创 大院儿路人甲 数学大院 2024-02-21 06:00 北京
“若正整数 n 满足:
n^5=27^5+84^5+110^5+133^5,
求 n 的值。”
这是单墫教授“单说数学”公众号上的一道有趣的数学题。这个题目背后还有一段与欧拉有关横跨两百年的数学小故事。
我们常会碰到一些有趣的数学题,其中不乏有来自数学家们研究过程中的奇思妙想和深刻思考。这些题目不仅可以训练一个人的解题技巧,更可以让我们从中体会到数学家们探索未知的过程和乐趣。
今天这个关于“5 次方数”的问题源自于大数学家欧拉的一个猜想。
欧拉其人
莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler,1707年4月15日—1783年9月18日),瑞士数学家、自然科学家。
1707 年 4 月 15 日,欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭,自幼受父亲的熏陶,喜爱数学。13 岁入读巴塞尔大学,15 岁大学毕业,16 岁获得硕士学位。
欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一,他不但为数学界作出贡献,更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家,平均每年写出八百多页的论文,还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本,《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此之广泛,因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
此外,欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书 Charles Kleiber 曾表示:“没有欧拉的众多科学发现,我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为:读读欧拉,他是所有人的老师。
有趣的 n 次方数猜想
欧拉无疑是人类史上最伟大的数学家之一,取得过很多的数学成就。其中,他曾提出了一个猜想:
至少 n 个 n 次方数之和才能等于一个 n 次方数。
之后漫长的时间里,人们对这个猜想一直束手无策。
经过了大约两百年,两个数学家找到了一个反例,推翻了这个猜想。只需要 4 个 5 次方数相加就能等于一个 5 次方数。
下图是他们提交发表的论文。这篇论文被称为“史上最短的数学论文”。
找到这个反例显然是非常困难的,不仅仅是经历了漫长的年代,还借助当时世界上最先进的大型计算机 CDC 6600 ,进行了长时间的计算。
论文中这个反例也就是我们在文章开头提到的数学题的源头,只不过这个题的难度大大的降低了。
如果已知其中 4 个正整数,只要具备一些初等数学知识,我们就可以通过不算复杂的推导从而得到第 5 个正整数。有兴趣的朋友,可以尝试独立解答。最后,我们把单墫教授手书的解答放在文末来结束这篇推文。
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