论坛 › 基础数学 › 证明：1／1^2+1／2^2+1／3^2+…+1／n^2＜33／20

H2L 发表于 2024-3-8 23:29

证明：1／1^2+1／2^2+1／3^2+…+1／n^2＜33／20

证明：\(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}<\frac{33}{20}\)
有无初等解法

Treenewbee 发表于 2024-3-9 08:50

本帖最后由 Treenewbee 于 2024-3-9 08:52 编辑

\[\frac1{k^2}<\frac{1}{k^2-\frac14}=\frac{1}{k-\frac12}-\frac{1}{k+\frac12}\]
故\[\sum_{k=1}^n{\frac1{k^2}}\]
\[<1+\frac14+\frac{1}{3-\frac12}-\frac{1}{3+\frac12}+\frac{1}{4-\frac12}-\frac{1}{4+\frac12}+...+\frac{1}{n-\frac12}-\frac{1}{n+\frac12}\]
\[=1+\frac14+\frac25-\frac{1}{n+\frac12}\]
\[=\frac{33}{20}-\frac{2}{2n+1}\]

liangchuxu 发表于 2024-3-9 16:44

证明自然数平方倒数和<33/20 有无初等解法

luyuanhong 发表于 2024-3-9 19:09

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