【资料】a,b,c皆为复数，求值【a+b+c】
本帖最后由 dodonaomikiki 于 2024-3-5 12:59 编辑题目还是很漂亮的！ 解答看起来并不简单啊~~~~~~~看起来，是好题啊！ 设a,b,c皆为复数，且a^2=b-c，b^2=c-a，c^2=a-b，求a+b+c.
思路：显然a^2+b^2+c^2=0，故k^2=(a+b+c)^2=2(ab+bc+ca) .(1)
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=(b-c)(c-a)+(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)=ab+bc+ca，
即k^2=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]. (2)
又a^3+b^3+c^3=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0，故k^3=(a+b+c)^3=6abc. (3)
故k^4/4=(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)=k^2/2+k^4/3，
即k^2(k^2+6)=0.解得k=0，k=±√6i.
注：有趣，但可以不高大上。
非常之感谢猫猫老师！
语言文字来一下LATEX化
\begin{align*}
显然\\
a^2+b^2+c^2&=0\\
\Longrightarrow k^2&=(a+b+c)^2=2(ab+bc+ca) .(1)\\
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=(b-c)(c-a)+(c-a)(a-b)+(a-b)(b-c)\\
&=ab+bc+ca，\\
即k^2&=2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2]. (2)\\
又a^3+b^3+c^3=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)&=0\\
\Longrightarrow k^3&=(a+b+c)^3=6abc. (3)\\
\Longrightarrow k^4/4=(ab+bc+ca)^2&=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+2abc(a+b+c)\\
&=k^2/2+k^4/3，\\
即k^2(k^2+6)&=0.\\
\Longrightarrow k&=0，k=±√6i.\\
\end{align*} 本帖最后由 dodonaomikiki 于 2024-3-5 13:05 编辑
原解中这部分推导，至关重要
\begin{align*}
-3abc&=a^3 + b^3+c^3 -3abc\\
&=(a+b+c)(a^2 + b^2+c^2 -ab-bc-ca )\\
&=-\frac{ k^3}{2}\\
\Longrightarrow &=\frac{ k^3}{6}\\
abc&=k^3 \\
\end{align*}
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