100 万美元奖金：谁要是证明了这个数学猜想，就能获得它！
100 万美元奖金：谁要是证明了这个数学猜想，就能获得它！原创 Masir123 科学羊 2024-01-12 07:35 广东
大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 8 篇。
今天我们来聊一个著名的数学人物 —— 黎曼！
格奥尔格·弗里德里希·伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Rie-mann）
黎曼是谁？
用一个比较准确的答案就是，他是数学王子-高斯最得意的学生。高斯曾评价他具有真正数学家的头脑，他在数学界贡献巨大，甚至影响了 19 世纪后半期数学的发展。
1900 年希尔伯特提出 23 个数学难题，其中第八个就是他的黎曼猜想。希尔伯特凭借自己的威望让全世界数学界都重视起这些问题。
2000 年克雷研究所提出了千禧年 7 大数学难题，其中也有黎曼猜想，克雷研究所凭借每个难题 100 万美元奖金引起了媒体的重视。
什么是黎曼猜想？
有这么一个公式，1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... .+ 1/n^s + .... ，这么一个求和公式，那 s 等于什么的时候，这个求和公式等于零呢？
这就是数学家们考虑了很久的一个问题。
黎曼函数
为了直观一些，咱们假设 s=2 ，那这个公式就变成了，1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/n^2 + .... ，就这样一直加下去，这个结果大约是（极限）π^2/6 ，数值大约是 1.64 。
如果你好奇也有时间，可以把 s=3 的情况代入算一算，它也不是零，结果大约是 1.2 。
这个 s 越大呀，这个值就越趋向于 1 ，但是都不是 0 。
而黎曼猜想的内容是：当这个 s 是复数的时候，会让这个公式等于零，而且复数的实数部分一定等于 1/2 。
黎曼 ζ 函数在临界线 Re(s)=1/2 上的实部（红色）和虚部（蓝色）。最起初的几个非平凡零点就位于 Im(s)=±14.135 ,±21.022 和 ±25.011 上。
临界线上零点比例的推进（了解即可）
什么是复数？
复数（Plural）是数学中的一个概念，它与我们常说的“复数”（如两个、三个等）不同。
数学中的复数是一种数的扩展，它包括实数和虚数。每个复数可以表示为 a+bi ，其中 a 和 b 是实数，而 i 是虚数单位，并满足 i 平方等于 -1 。
复数最初的概念可以追溯到 16 世纪，当时为了解决三次方程的根的问题而被提出。
16 世纪意大利数学家卡尔达诺（Gerolamo Cardano）在研究三次方程时首次引入了复数的概念，关于卡尔达诺的故事后篇会谈。
随后，复数理论逐渐发展完善，成为现代数学的一个重要组成部分，其目的是为了：
解决方程：在实数范围内，某些方程没有解，如，引入复数后，这样的方程就有解了（例如 x=i 或 x=-i ）。
扩展数学理论：复数为数学的多个领域提供了更全面的框架，包括代数、几何、微积分等。
应用于物理和工程：在物理学和工程学中，复数用于解决振动、波动、电子学等领域的问题。
回到黎曼猜想，黎曼猜想关注的是黎曼 ζ 函数的“零点”，也就是函数值为零的点。特别地，它关注那些位于所谓的“临界线”（实部为 1/2 的复数）上的零点。
简单来说，黎曼猜想认为：黎曼 ζ 函数在临界线上的所有非平凡零点（非平凡意味着它们不是显而易见的零点，像是负偶数）的实部都是 1/2 。
举个实际案例：
想象一下你在一个游乐园，有一条过山车轨道。这条轨道代表复数平面，过山车的每一个停止点都代表黎曼 ζ 函数的一个零点。
现在，有一个神秘的规则说，过山车只在特定的点停下来。这些点在过山车轨道的某条特定线上，这条线就像是轨道的中心线。黎曼猜想就是在说，所有重要的停止点（或者说特殊的零点）都恰好位于这条中心线上。
这个猜想之所以重要，是因为它与素数的分布密切相关。
素数是数学中的基本构建块，它们像是自然数的原子。
黎曼猜想的真假直接影响我们对素数如何分布在自然数中的理解。如果黎曼猜想被证实，我们将对素数的分布有一个更深入的理解。
反之，如果它被证明是错误的，那将会颠覆我们对数学的基本理解，并可能引导我们发现全新的数学理论。
那你说，如果黎曼猜想被证伪会怎么样？
那可能会引发第四次数学危机！因为此前有超过 1000 个数学命题是以黎曼猜想是对的，为前提的。
一旦黎曼猜想被证伪了，数学大厦就会出现一个大规模的崩塌，数学家们不得不重新修补巨量的定理。所有跟这些定理相关的技术应用也要重新审视。
尤其很多数论方面的理论，最终应用的场景就是加密和解密，虽然安全级别会有多大程度的降低，那还要视具体情况具体分析，但涉及密码跟信息安全的所有的应用都将不得不推倒重来，行业也会重新洗牌。
好，今天就先这样啦～
PS：关于黎曼的故事可能还要增加 3～4 个章节来系统讲解，本篇大家先做个了解即可，下篇我们再聊聊关于黎曼的生平和著名的黎曼几何。
祝幸福～
参考文献：
. 《数学大师》
. https://www.dedao.cn/course/article?id=Q8dpgOa54NZMVzyQyKByzxkwYm2Rl9
科学羊 2024/01/12
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